En primer lugar, la definición de un espacio de Baire (teorema de la categoría de Baire):
[matemática] (1) [/ matemática] Un espacio topológico, [matemática] X [/ matemática], es un espacio de Baire si la intersección de cualquier colección contable de conjuntos densos abiertos en [matemática] X [/ matemática] también es densa en [matemáticas] X [/ matemáticas].
La siguiente es una definición equivalente, que me parece más intuitiva:
- ¿Puede la experiencia de la espiral dorada ser replicada a voluntad?
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[matemática] (2) [/ matemática] Un espacio topológico, [matemática] X [/ matemática], es un espacio de Baire si la unión de cualquier colección contable de conjuntos cerrados densos en ninguna parte en [matemática] X [/ matemática] tiene interior vacio
Y, (2) implica lo siguiente:
[matemáticas] (3) [/ matemáticas] Un espacio de Baire no vacío no es la unión de muchos subconjuntos densos en ninguna parte.
Entonces, el teorema de la categoría de Baire dice que los espacios métricos completos y los espacios de Hausdorff compactos localmente son espacios de Baire. Con eso, las declaraciones (2) / (3) deberían dar la sensación de que en ninguna parte los conjuntos densos son ” muy pequeños” en estos espacios. (Wikipedia (espacio Baire) usa el término “insignificante”).
Un lugar donde este teorema es altamente significativo es en el estudio de los espacios de Banach (espacios vectoriales normativos completos). En tales espacios, el teorema de la categoría de Baire ayuda diciendo aproximadamente lo siguiente:
“De cualquier forma que (de manera contable) corte un espacio de Banach, siempre obtendrá al menos un corte cuyo cierre contiene una bola abierta (ya que tiene un interior no vacío, por (3))”.
Dado que un espacio de Banach es un espacio vectorial normalizado, a menudo es posible “injertar” ciertas propiedades del “corte de bola abierta” en una bola abierta centrada en 0. Y esto a menudo es suficiente para mostrar que esas propiedades (o propiedades similares) se extienden a todo el espacio vectorial normado.
Entonces, en el caso de los espacios de Banach, el teorema de la categoría de Baire “se empareja con” propiedades especiales de bolas abiertas en espacios vectoriales normalizados para probar algunos resultados interesantes. Se pueden encontrar dos ejemplos de esto en la prueba del teorema de mapeo abierto (Teorema de mapeo abierto (análisis funcional)) y en la prueba del principio de delimitación uniforme (principio de delimitación uniforme).
En otros espacios de Baire, estoy seguro de que el teorema es igualmente significativo. Sin embargo, no he estudiado mucho sobre esto.
