Sí, podemos comparar estos infinitos.
Estos infinitos son los tamaños de dos conjuntos infinitos, [math] [0, 1] [/ math] y [math] \ mathbb {R} [/ math]. Pero, la pregunta es, ¿cómo haces esto?
De lo contrario, ¿cómo se comparan los tamaños de dos conjuntos finitos? Tales como [matemáticas] A = \ {2, 6, 8 \} [/ matemáticas] y [matemáticas] B = \ {a, a ^ 2, a ^ 3 \} [/ matemáticas]. Dices, mira, hay tres elementos en el primer conjunto y 3 elementos en el segundo, por lo que sus tamaños son iguales. ¡Multa! Pero, ¿cómo contamos los tres elementos?
Dijimos que en el primer conjunto 2 puede tratarse como el primer elemento, 6 como el segundo elemento y 8 como el tercer elemento. De manera similar en el segundo conjunto, [math] a [/ math] puede tratarse como el primer elemento, [math] a ^ 2 [/ math] como el segundo elemento y [math] a ^ 3 [/ math] como el tercero elemento.
¿Qué hemos hecho exactamente aquí?
Formamos la función [math] f: A \ rightarrow C = \ {1, 2, 3 \} [/ math] definida como
[matemáticas] f (2) = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (6) = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (8) = 3 [/ matemáticas]
Y esta es una función biyectiva, lo que significa que asigna todos los puntos del conjunto [matemática] A [/ matemática] a un punto del conjunto [matemática] C [/ matemática] y no hay dos elementos asignados al mismo elemento. Además, ningún elemento de [math] C [/ math] permanece ‘vacío’, es decir, para cualquier elemento de [math] C [/ math], siempre hay un punto en [math] A [/ math] que se asigna a ese punto
Hacemos lo mismo con el conjunto [matemáticas] B. [/ Matemáticas] Formamos la siguiente función [matemáticas] g [/ matemáticas], que asigna [matemáticas] B [/ matemáticas] a [matemáticas] C [/ matemáticas] :
[matemáticas] g (a) = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] g (a ^ 2) = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] g (a ^ 3) = 3 [/ matemáticas]
Entonces, el tamaño de [math] A [/ math] y [math] C [/ math] es el mismo porque sus elementos están en una correspondencia uno a uno y el tamaño de [math] B [/ math] y [math ] C [/ math] también es igual por la misma razón. Entonces, el tamaño de [math] A [/ math] y [math] C [/ math] es igual.
Pero podemos hacerlo mejor, podemos asignar directamente [matemáticas] A [/ matemáticas] a [matemáticas] C [/ matemáticas]. Mapeamos 2 a [matemáticas] a [/ matemáticas], 6 a [matemáticas] a ^ 2 [/ matemáticas] y 8 a [matemáticas] a ^ 3 [/ matemáticas].
¡Y entonces los dos conjuntos son del mismo tamaño!
Esto es como tratar de contar el número de estudiantes en una clase contando el número de sillas (suponiendo que cada silla no esté vacía y no haya dos personas sentadas en la misma silla). Decimos que, mira, hay una silla única para cada persona y ninguna silla está vacía, por lo que el número de estudiantes debe ser igual al número de sillas.
¿Pero por qué hacer todo esto? Esto nos ayuda a encontrar una manera de comparar dos conjuntos infinitos. Solo vea si existe una biyección entre los dos conjuntos y afirme que sus tamaños son iguales.
Volviendo a nuestra pregunta original. ¿Cómo comparamos [math] [0, 1] [/ math] con [math] \ mathbb {R} [/ math]?
¿Podemos encontrar un bjection?
Considere la función [math] f [/ math]: [math] (- \ dfrac {\ pi} {2}, \ dfrac {\ pi} {2}) \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] definido como [matemáticas] f (x) = \ tan x [/ matemáticas].
Esta función es biyectiva, como se puede verificar. ¡Entonces el tamaño de [math] (- \ dfrac {\ pi} {2}, \ dfrac {\ pi} {2}) [/ math] es igual al tamaño de [math] \ mathbb {R} [/ math]! Con algunos cambios de escala y algunos cambios sutiles, se puede demostrar que también hay una biyección de [matemáticas] (- \ dfrac {\ pi} {2}, \ dfrac {\ pi} {2}) [/ matemáticas] a [matemáticas ] [0, 1] [/ matemáticas]. Podemos mostrar que las propiedades habituales de las igualdades y desigualdades se mantienen en estas comparaciones.
Entonces sí, podemos comparar infinitos, pero no, el conjunto [matemática] [0, 1] [/ matemática] no es menor que [matemática] \ mathbb {R} [/ matemática] en este sentido. Esto es contrario a la intuición, pero es cierto: un conjunto infinito equivale en tamaño a uno de sus subconjuntos. De hecho, ¡se puede mostrar que el tamaño de cada conjunto infinito es igual al tamaño de (al menos) uno de sus subconjuntos!
