[matemática] z ^ 2 – 6 z – iz = – | z -1 | [/ matemática]
Cuadratura,
[matemáticas] z ^ 2 (z- (6 + i)) ^ 2 = (z-1) (z ^ * -1) [/ matemáticas]
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Tomando magnitudes, el lado derecho ya es positivo real,
[matemáticas] zz ^ * (z- (6 + i)) (z ^ * – (6-i))) = (z-1) (z ^ * -1) [/ matemáticas]
Igualando,
[matemáticas] z ^ 2 (z- (6 + i)) ^ 2 = zz ^ * (z- (6 + i)) (z ^ * – (6-i)) [/ matemáticas]
Vemos que [math] z = 0 [/ math] no es una solución y tampoco lo es [math] z = 6 + i [/ math], así que cancelemos.
[matemáticas] z (z- (6 + i)) = z ^ * (z ^ * – (6-i)) [/ matemáticas]
Un enfoque fructífero podría ser [math] \ dfrac {z} {z ^ *} = \ dfrac {z ^ * – (6-i)} {z- (6 + i)}. [/ Math] Esos son los dos Proporción de conjugados garantizados para estar en el círculo unitario en un ángulo dos veces mayor que el numerador. Entonces obtenemos [math] \ angle z = \ angle (z ^ * – (6-i)) [/ math] que podemos interpretar geométricamente. No fui por este camino; Fui a componentes en su lugar.
Deje [math] z = x + iy. [/ Math]
[matemáticas] (x + iy) (x + iy – (6 + i)) = (x-iy) (x-iy – (6-i)) [/ matemáticas]
[matemáticas] (x ^ 2 – y ^ 2) + 2 ixy – (6 + i) x + (1 – 6 i) y = (x ^ 2 – y ^ 2) – 2 ixy – (6 – i) x + (1 + 6 i) y [/ matemáticas]
[matemáticas] iy (4x -12) = 2ix [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ dfrac {x} {2x – 6} [/ matemáticas]
Si parametrizamos [matemáticas] x = t, y = t / (2t-6) [/ matemáticas] obtenemos
[matemáticas] z = t + \ dfrac {it} {2t -6} [/ matemáticas]
como locus, [matemáticas] t \ ne 3. [/ matemáticas]
Verificación: Debería hacerlo pero me tengo que ir. Probablemente introdujo algo extraño al cuadrar arriba.
