La formula es
[matemáticas] l = r \ veces \ theta [/ matemáticas],
donde [matemática] l [/ matemática], [matemática] r [/ matemática] y [matemática] \ theta [/ matemática] son la longitud del arco, el radio y el ángulo del arco en radianes, que se muestran a continuación :
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Para ver por qué esto es cierto, discutamos de dos maneras.
1. Intuitivamente:
Sabemos que la circunferencia de un círculo con radio [matemática] r [/ matemática] es [matemática] P = 2 \ pi \ veces r [/ matemática], que no es más que la longitud del arco con ángulo [matemática] 2 \ pi [/ math] radianes. Entonces, la longitud del arco con ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] sería
[matemáticas] l = P \ times \ frac {\ theta} {2 \ pi} = 2 \ pi \ times r \ times \ frac {\ theta} {2 \ pi} = r \ times \ theta [/ math].
2. Rigorosly:
Para calcular la longitud [matemática] l [/ matemática] del siguiente arco, formamos una secuencia de aproximaciones, [matemática] l_1, l_2, \ cdots [/ matemática], de [matemática] l [/ matemática]. Deje que [math] l_1 [/ math] sea la longitud de la línea de puntos [math] AB [/ math]. 
El valor de [math] l_1 [/ math], como se calcula a continuación, resulta ser [math] 2r \ sin {\ frac {\ theta} {2}} [/ math]. 
Dejamos caer un [math] OC [/ math] perpendicular desde [math] O [/ math] en [math] AB [/ math]. Tenga en cuenta que dado que [math] \ Delta OAB [/ math] es un triángulo isósceles, [math] OC [/ math] biseca tanto la línea [math] AB [/ math] como el ángulo [math] \ theta [/ math]. Y como [math] \ Delta OCB [/ math] es un triángulo rectángulo, tenemos
[matemáticas] AC = BC = OB \ cdot \ sin {\ frac {\ theta} {2}} = r \ sin {\ frac {\ theta} {2}} [/ math].
Por lo tanto, [math] l_1 = AB = AC + BC = 2r \ sin {\ frac {\ theta} {2}} [/ math].
Ahora, pasamos al siguiente nivel de aproximación, donde ampliamos [matemática] OC [/ matemática] para encontrar el arco en [matemática] X_1 [/ matemática].
Defina [math] l_2: = AX_1 + BX_1 [/ math], y como [math] AX_1 = BX_1 [/ math], obtenemos [math] l_2 = 2 \ cdot AX_1 [/ math].
(Tenga en cuenta que [math] l_2 [/ math] es la longitud combinada de las líneas punteadas). 
La longitud de la línea [matemática] AX_1 [/ matemática] se puede calcular de la misma manera que lo hicimos para [matemática] l_1 [/ matemática] anterior. Simplemente reemplace [math] \ theta [/ math] por [math] \ frac {\ theta} {2} [/ math].
Por lo tanto, [math] AX_1 = 2r \ sin {\ frac {\ theta / 2} {2}} = 2r \ sin {\ frac {\ theta} {4}} [/ math].
Ahora tenemos [math] l_2 = 2 \ cdot AX_1 = 4r \ sin {\ frac {\ theta} {4}} [/ math].
Continuando, podemos aproximar aún más el arco por cuatro líneas rectas:
[math] AX_3, X_3X_1, X_1X_2, X_2B [/ math], cuya longitud combinada llamamos [math] l_3 [/ math]. 
Podemos deducir fácilmente que [math] l_3 = 4 \ cdot AX_3 = 8r \ sin {\ frac {\ theta} {8}} [/ math].
Repitiendo este proceso, en realidad nos acercamos cada vez más a la longitud del arco, [math] l [/ math].
Para resumir, tenemos:
[matemática] l_1 = 2r \ sin {\ frac {\ theta} {2}} [/ matemática], [matemática] l_2 = 4r \ sin {\ frac {\ theta} {4}} [/ matemática], [matemática ] l_3 = 8r \ sin {\ frac {\ theta} {8}} [/ math], [math] \ cdots [/ math]
No es difícil encontrar una fórmula para [math] l_n [/ math]:
[matemáticas] l_n = 2 ^ nr \ sin {\ frac {\ theta} {2 ^ n}} [/ matemáticas].
Podemos convencernos de que la longitud del arco es precisamente el valor al que converge esta secuencia. Es decir,
[matemáticas] l = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} {l_n} = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} {2 ^ nr \ sin {\ frac {\ theta} {2 ^ n}}} [/ math ]
Para resolver el límite, reemplace [math] \ frac {\ theta} {2 ^ n} [/ math] con [math] t [/ math]. Como vemos que como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math], [math] t \ rightarrow 0 [/ math], este cambio de variable nos da:
[matemáticas] l = \ lim_ {t \ rightarrow 0} {\ left (r \ cdot \ frac {\ theta} {t} \ sin {t} \ right)} [/ math] = [math] r \ theta \ cdot \ left (\ lim_ {t \ rightarrow 0} {\ frac {\ sin {t}} {t}} \ right) [/ math] = [math] r \ theta \ cdot 1 [/ math] = [math ] r \ times \ theta [/ math].
Por lo tanto, tenemos la longitud del arco, [math] l = r \ times \ theta [/ math].
