Una pregunta típica que uno podría hacer sobre un número irracional es si es un número normal o no.
Con fines ilustrativos, centrémonos en un único número irracional conocido, el número [math] \ pi [/ math]. Una pregunta natural que se le puede ocurrir al pensar en este número es la siguiente: ¿cada dígito entre 0 y 9 aparece con la misma frecuencia en la expansión decimal de [math] \ pi [/ math]? ¿O algunos dígitos ocurren con mayor frecuencia que otros a largo plazo, por alguna razón? La respuesta de ninguna manera es obvia. No podemos pensar en ninguna razón simple por la que debería haber una asimetría entre las frecuencias de los dígitos, por qué algunos dígitos deben ser “favorecidos” sobre otros dígitos, por lo que podemos sentir que todos los dígitos deberían ocurrir con la misma frecuencia a largo plazo, pero ¿podemos serlo? ¿seguro? Veamos las frecuencias de dígitos en los primeros 100 lugares decimales de [math] \ pi [/ math], comenzando con el primer “3” de 3.1415926 …:
0 ——————————– 8
1 ——————————– 8
2 ———————————————— 12
3 ———————————————— 12
4 —————————————- 10
5 ——————————– 8
6 ———————————— 9
7 ——————————– 8
8 ———————————————— 12
9 —————————————————- 13
- ¿Cómo se resuelven estos dos problemas?
- ¿Soy demasiado estúpido para las matemáticas si he estado atrapado por un concepto simple como la regla de la cadena en el cálculo durante 6 días?
- ¿Cómo encuentro todas las soluciones complejas de [matemáticas] i ^ {i} [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 ^ {2i} [/ matemáticas]?
- ¿Cómo hace menos y menos igual más?
- ¿Cómo funciona la matemática (es decir, tiene éxito en la manipulación de la naturaleza) si (números y axiomas) es un producto de la lógica humana?
Parece que los dígitos 2, 3, 8, 9 dominan ligeramente sobre 0, 1, 5, 7 en los primeros 100 decimales, pero ¿continuará esta tendencia a largo plazo, o las frecuencias se igualarán? Vamos más abajo en la expansión decimal. Aquí está la distribución de dígitos en los primeros 1000 lugares decimales:
0 ————————————- 93
1 ———————————————- 116
2 —————————————– 103
3 —————————————– 103
4 ————————————- 93
5 ————————————— 97
6 ————————————– 94
7 ————————————– 95
8 —————————————- 101
9 —————————————— 105
Todas las frecuencias están cerca de la frecuencia esperada de 100 por dígito. (¿Por qué esperamos 100 ocurrencias por dígito? Debido a que hay 1000 lugares decimales, cada uno de los cuales está ocupado por uno de los 10 dígitos, por lo que si los dígitos realmente ocurren con la misma frecuencia, cada dígito debería aparecer aproximadamente 100 veces de 1000). 0 y 4 parecen estar un poco por detrás de los demás, y 1 parece dominar ligeramente, pero nuevamente, la asimetría es muy débil. Veamos las frecuencias en los primeros 1,000,000 lugares decimales:
0 —————————————- 99,959
1 —————————————- 99,757
2 —————————————- 100,026
3 —————————————- 100,230
4 —————————————- 100,230
5 —————————————- 100,359
6 —————————————- 99,548
7 —————————————- 99,800
8 —————————————- 99,985
9 —————————————- 100,106
Apenas vemos asimetrías en este momento. Todas las frecuencias están muy cerca de 100,000, como debería ser el caso si los dígitos se distribuyen uniformemente. (La frecuencia más baja es 99,548, cuyo error relativo en comparación con 100,000 es un pequeño 0.452%. La frecuencia más alta es 100,359, con un error relativo de 0.359%).
Por lo tanto, parece que todos los dígitos se representan con la misma frecuencia en la expansión decimal de [math] \ pi [/ math]. ¿Qué sucede si llevamos este proceso al límite? Para ser más precisos, denotemos por [matemática] N (a, n) [/ matemática] el número de veces que el dígito [matemático] a [/ matemático] aparece en los primeros decimales [matemáticos] n [/ matemático] de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]. Por ejemplo, de nuestro primer gráfico anterior, vemos que
[matemáticas] N (0,100) = 8, \; N (1.100) = 8, \; N (2, 100) = 12, [/ matemáticas]
y así. La pregunta es esta: ¿tenemos
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {N (a, n)} {n} = \ frac {1} {10} \ text {for} a = 0,1,2, \ ldots, 9? [/ Matemáticas]
Los cuadros anteriores parecen sugerir que esto es cierto, que todos los dígitos ocurren con la misma frecuencia a largo plazo. Pero, ¿podemos demostrar que este es realmente el caso? Nadie ha podido hacerlo todavía. Es una pregunta abierta.
Una vez que empiece a pensar en las frecuencias de los dígitos, un siguiente paso muy natural es preguntar si cada par de dígitos también ocurre con la misma frecuencia. Puede ser el caso, por ejemplo, que todos los dígitos ocurran con la misma frecuencia individualmente , pero el dígito 9 nunca es seguido por otro 9 (digamos), por lo que el par 99 nunca aparece en ninguna parte de la expansión decimal de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]! (De hecho, este no es el caso: las posiciones 44 y 45 después del punto decimal son ambos 9). Si los dígitos de [math] \ pi [/ math] aparecen de forma “verdaderamente aleatoria”, deberíamos no solo tienen los dígitos individuales, sino todos los pares de dígitos que ocurren con la misma frecuencia a largo plazo. Una vez más, los cálculos numéricos sugieren que este es el caso, pero no hay pruebas generales.
Y, por supuesto, una vez que empiezas a pensar en pares de dígitos, ¿por qué no considerar triples de dígitos, cuádruples de dígitos, … también? ¿Es el caso de que todas las cadenas de dígitos de longitud [matemática] n [/ matemática] ocurren con la misma frecuencia en la expansión decimal de [matemática] \ pi [/ matemática], para [matemática] n [/ matemática] = 1,2, 3, …? ¿O tenemos (digamos) que la cadena 123456789 ocurre con más frecuencia que la cadena 111111111 por alguna razón?
Si un número irracional tiene todas las cadenas de longitud [math] n [/ math] que ocurren con la misma frecuencia en su expansión decimal, para [math] n [/ math] = 1,2,3, …, ese número se llama normal número En cierto sentido, un número normal es aquel cuyos dígitos aparecen de forma “verdaderamente aleatoria”, sin sesgos para ningún dígito o cadena de dígitos en particular. Mi larga discusión anterior se puede resumir en una pregunta, entonces: ¿Es [math] \ pi [/ math] un número normal o no? Como he indicado anteriormente, la respuesta es desconocida, aunque los cálculos numéricos sugieren fuertemente que sí.
Debe quedar claro que puede hacer la misma pregunta sobre cualquier número irracional. ¿Son [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas] o [matemáticas] e [/ matemáticas] números normales? Nuevamente, nadie lo sabe con certeza, aunque sospechamos firmemente que lo son. Lo que sí sabemos con certeza es que casi todos los números reales son normales, en el sentido de que todos los números reales no normales juntos tienen una longitud total (medida de Lebesgue) de cero.
También debe quedar claro que todos los números racionales no son normales, ya que sus expansiones decimales son decimales repetitivos. El número 3/7, por ejemplo, tiene expansión decimal 0.428571 428571 428571 … Está claro que los dígitos 3, 6 o 9 nunca aparecerán en esta expansión, por lo que 3/7 no puede ser normal. Un argumento similar es válido para todos los decimales repetidos, por lo tanto, para todos los números racionales.
[Editado para errores tipográficos.]
