Para un matemático, ¿hay alguna diferencia entre 4 + 5 y 5 + 4?

La respuesta es ambas, si y no !

¿Por qué? Debido a que la pregunta carece de rigor y la información proporcionada es insuficiente para que un matemático aplique la teoría de grupo. Antes de explicar cómo, déjenme explicar rápidamente qué es un grupo.

/ * omita si ya lo sabe * /

Un grupo, (S, *) significa un conjunto S con una operación que dice “*” definida en él.

Y satisface cuatro axiomas :

1. Cierre: tome dos elementos de S, aplique la operación “*” y obtendrá nuevamente un elemento de S

2. Asociatividad: si a, b, c son elementos en S, entonces (a * b) * c = a * (b * c)

3. Existencia de un elemento de identidad: si a es un elemento de S, entonces hay un elemento i en S tal que a * i = a

4. Existencia de un elemento inverso: si a es un elemento de S e i es la identidad, entonces hay un elemento en S tal que a * b = i

Bien de vuelta a la pregunta.

Entonces, el problema con la pregunta es:

a) No ha especificado el conjunto al que pertenece 4 y 5.

b) ¿Cómo se define el operador + en el conjunto al que pertenecen 4 y 5?

Pero no te preocupes! Como un matemático típico, consideraré dos casos diferentes.

CASO 1: Que 4 y 5 pertenezcan al conjunto de enteros Z y + se define como un operador de suma habitual. [(Z, +) es un grupo, compruébelo usted mismo]

Trivialmente por nuestro conocimiento de las matemáticas de la escuela secundaria, es evidente que

4 + 5 = 9 = 5 + 4

Por lo tanto, NO, no hay diferencia.

Aburrido, ¿verdad? Así que veamos un caso más sexy.

CASO 2: ¿ Recuerdas i, j, k los vectores “hipster” de tu conferencia de la escuela secundaria sobre vectores? ¡Si! Correcto.

Supongamos que tomo un conjunto A definido de la siguiente manera:

¡¿Frio?!

Bien, ahora definamos la operación + en el conjunto A de la siguiente manera:

Puede preguntar … ¿cómo puedo definir + por mi cuenta? Bueno, mah set mah rulez! Es broma, ya que no has definido la operación +, por lo tanto, la teoría de grupos me permite hacerlo. Claramente puede verificar que (A, +) es un grupo, es decir, sigue los cuatro axiomas. (¡No seas perezoso! No te estoy alimentando con cuchara, compruébalo tú mismo)

Llamemos a este grupo A como nuestro equipo A.

Volviendo a nuestra pregunta principal … ¿4 + 5 y 5+ 4 son iguales?

Bueno, si 4 y 5 pertenecen a nuestro “equipo A”, entonces

4 + 5 = jk = i = 3

PERO

5 + 4 = kj = -i = -3

Sí, hay una diferencia !

Entonces, ¿básicamente lo que estamos tratando de ver es si nuestra operación + en un grupo conmutativo? (o use el nombre elegante Abelian )

En el primer caso, el grupo era conmutativo y, por lo tanto, 4 + 5 y 5 + 4 significaban lo mismo, mientras que en el segundo el grupo no era conmutativo y, por lo tanto, 4 + 5 y 5 + 4 no eran lo mismo.

En álgebra abstracta, esta propiedad de las estructuras algebraicas es tan importante que los matemáticos la estudian como diferentes ramas llamadas álgebra conmutativa y álgebra no conmutativa.

Uf!

PD: Mi reloj dice que son las 5:09 AM y ahora que he terminado con la respuesta, puedo dormir tranquilo.

Anuncio sin sentido: una canción de las montañas

Si bien estas dos cantidades son iguales, las expresiones y su significado no son iguales, al menos desde una perspectiva de teoría de conjuntos. En particular, pienso en los números ordinales.

4 + 5 indica el número de objetos que obtienes cuando colocas cuatro objetos por primera vez y luego colocas cinco objetos después de ellos. Conjunto teóricamente, este es el ordenamiento lexicográfico (0,0), (0, 1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2) , (1,3), (1,4).

5 + 4 indica la cantidad de objetos que obtienes cuando colocas cinco objetos por primera vez y luego colocas cuatro objetos después de ellos. Conjunto teóricamente, este es el orden lexicográfico (0,0), (0, 1), (0,2), (0,3), (0,4), (1,0), (1,1) , (1,2), (1,3).

En realidad, en inglés, hay una distinción lingüística oscura y arcaica de los argumentos en la expresión [matemáticas] a + b [/ matemáticas]. Uno puede referirse a la primera ([matemática] a [/ matemática]) como una “augend” y la segunda ([matemática] b [/ matemática]) como una “suma”. (Sin embargo, en inglés moderno, usualmente nos referimos a ambos argumentos como agregados). Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Ad… .

Por supuesto, con los enteros, estos dos números son iguales, y estos dos ordenamientos son isomorfos.

Tales igualdades no se mantienen con ordinales transfinitos. Ejemplo: como de costumbre, deje que [math] \ omega [/ math] denote los números naturales, {0, 1, 2, …}. [matemática] 1 + \ omega = \ omega [/ matemática]: cuando coloca un solo objeto frente a la lista infinita, obtiene una lista infinita cuyo orden es el mismo que el de los números naturales.

Sin embargo, [math] \ omega + 1 [/ math] es completamente diferente: esto es [math] \ omega [/ math] seguido de un solo objeto (habitualmente, [math] \ omega [/ math]) que es más grande que todos los demás Este objeto es [math] s (\ omega) [/ math], el sucesor (ordinal) de [math] \ omega [/ math].

Es decir, (0,0), (1,0), (1,1), (1,2) … es un orden diferente que (0,0), (0,1), (0,2), …, (1,0).

Otra perspectiva: tal vez desee considerar la suma como una operación binaria en los números reales. En términos más generales, es posible que desee considerar la suma como una operación binaria en los números complejos o cualquiera de sus subconjuntos ( por ejemplo , los números naturales) cerrados bajo la suma. Luego, por los axiomas de la estructura algebraica de interés, la suma es conmutativa, es decir , una función [matemática] f: \ mathbf {C} ^ 2 \ a \ mathbf C [/ matemática] que tiene la propiedad [matemática] f ( x, y) = f (y, x) [/ math] para todos los números complejos [math] x [/ math] y [math] y [/ math]. Es decir, 4 + 5 = 5 + 4 en dichos semigrupos aditivos mediante una propiedad axiomática de adición. En otras palabras, usando la definición de función teórica de conjuntos, ((4,5), 9) y ((5,4), 9) son ambos elementos de la función de suma.

Hay una broma popular contada por un profesor de matemáticas en mi universidad.

Hay 4 especialidades relacionadas con las matemáticas en mi universidad, cuando un estudiante necesita decidir cuál estudiar, debe responder esta pregunta: 4 + 5 =?

Si es 9, debes estudiar matemática computacional.

Si es “casi seguramente 9”, debe estudiar estadísticas y probabilidad.

Si es 10, deberías estudiar matemáticas financieras.

Si es 5 + 4, debes estudiar matemática pura.

Demasiado lejos de la pregunta. Para responder a la pregunta, el campo (en realidad, si estamos usando este término, ya está caracterizado, pero suponemos que todavía no sabemos nada al respecto) de 4 y 5 y “+” debe caracterizarse. Si “+” es conmutativo por definición, entonces son iguales, de lo contrario, PODRÍAN ser diferentes.

Para un matemático … ¿probablemente no?

Pero en general, sí, la hay. Aunque tal vez no necesariamente para estos números en particular. Te daré algunos ejemplos.

En primer lugar, 4 + 5 = 5 + 4 solo cuando se trata de números regulares. Si estás hablando de 4 de una cosa y 5 de otra, entonces no lo son. Esto puede suceder coloquialmente, donde hay 4 de una cosa principal y 5 de una cosa alternativa, en cuyo caso 5 + 4 sería lo opuesto, 5 de lo principal y 4 de lo alternativo. Hay 9 cosas en total, pero los dos casos tienen una composición diferente. Se podría decir, por ejemplo, que 9 cosas están en un arreglo 4 + 5, refiriéndose a 4 delante y 5 detrás, y en ese caso un arreglo 5 + 4 cambiaría las líneas.

4 y 5 están juntos, pero ¿qué pasa con 4 + 10? Si eres físico, 10 solo tiene una cifra significativa, entonces 4 + 10 = 10. Entonces, ¿qué pasa con 4 + 4 + 10? 4 + 4 = 8 y 8 + 10 = 20 (redondeas 14 a 10 y 18 a 20). ¿Y 10 + 4 + 4? 10 + 4 = 10 y 10 + 4 = 10, entonces 10 + 4 + 4 = 10. Y 4 + 4 + 10 = 20. Loco, ¿eh? Por supuesto, cualquier físico real no pensará en los números de esta manera, pero las computadoras sí. Cuando se trata de cálculos de coma flotante, está limitado en el número de bits que puede usar para representar el número. Cuando agrega un número grande y un número pequeño juntos, algunos de los bits del número pequeño se pierden. Esto significa que generalmente desea agregar los números más pequeños primero en caso de que esos bits realmente importen. El efecto generalmente será mucho menos extremo que el ejemplo 10 + 4 + 4, especialmente en un número de doble precisión (64 bits, aunque muchos de ellos van al exponente y uno es el signo), pero aún podría haber Una diferencia en los bits inferiores.

Los números surrealistas transfinitos son un poco raros. 4 + 5 = 5 + 4, pero 1 + w ≠ w + 1. Pero probablemente no estés hablando de eso. Y 4 + 5 sigue siendo 5 + 4 de todos modos.

Finalmente, 4 + 5 representa no solo el número 9 sino el proceso de tomar 4 cosas y agregarles 5 cosas. Esto es conceptualmente diferente de tomar 5 cosas y agregarles 4 cosas. Obtendrá 9 cosas de cualquier manera, por supuesto, pero el proceso es diferente; el primer número se considera estacionario, mientras que el segundo se interpreta como algo que se hace al primero. Los matemáticos pueden no preocuparse tanto por esto, pero cuando observa el proceso de pensamiento, la forma en que conceptualiza la operación es realmente muy importante. Tome un ejemplo diferente: 1 + 99. Esto significa tomar 1 cosa y agregarle 99 cosas. ¡99 cosas son muchas cosas para moverse! 99 + 1 significa tomar 99 cosas y agregarle 1 cosa; 1 cosa es bastante fácil de mover. Es mucho más fácil conceptualizar la adición de una cosa más pequeña a otra más grande que al revés (pero tenga en cuenta que en mi ejemplo anterior recomendé hacer exactamente lo contrario si agrega muchas cosas juntas porque dará una respuesta más precisa; afortunadamente , las computadoras no necesitan conceptualizar nada).

Ahi esta. Aunque estas expresiones significan el mismo objeto (número natural 9), en realidad son diferentes (es decir, no son idénticas sintácticamente o gráficamente).

Esto significa que desde un punto de vista muy riguroso l uno tiene que demostrar que 4 + 5 = 5 + 4 (que es un teorema en aritmética de primer orden y, por lo tanto, es una afirmación verdadera).

Como parece que nadie lo ha mencionado todavía, en la teoría de números y la combinatoria, también hay dos contextos relacionados en los que se puede ver 4 + 5 y 5 + 4: como particiones enteras o composiciones del número entero 9.

Tanto para las particiones como para las composiciones de enteros, observamos todas las formas en que los enteros positivos pueden sumar a un entero particular, donde el orden de los sumandos es importante para este último pero no para el anterior.

El número de particiones de un número entero dado, n, se puede encontrar usando algunas fórmulas diferentes y algo avanzadas, algunas de las cuales se pueden encontrar aquí: Partición (teoría de números) o Partición Función P. En nuestro caso, hay 30 tales particiones de 9. Como eso es bastante, elija el entero 4 como ejemplo en su lugar. Las particiones enteras únicas de 4 son las siguientes:

• 4 4
• 3 + 1
• 2 + 2
• 2 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1

El número de composiciones de un número entero dado, n, llamado c (n), tiene la fórmula posiblemente mucho más simple c (n) = 2 ^ (n-1). Por lo tanto, en nuestro caso, tenemos c (9) = 2 ^ 8 composiciones enteras de 9, o 256 de tales composiciones. Como ese es un número bastante grande de sumas para enumerar aquí, usemos nuestro ejemplo anterior para el número entero 4. Las composiciones enteras únicas de 4 son las siguientes:

• 4 4
• 3 + 1
• 1 + 3
• 2 + 2
• 2 + 1 + 1
• 1 + 2 + 1
• 1 + 1 + 2
• 1 + 1 + 1 + 1

Teniendo en cuenta lo anterior, así como las respuestas anteriores a su pregunta, diría que la moraleja de la historia es: 4 + 5 y 5 + 4 se consideran iguales en matemáticas en ciertos contextos, pero diferentes en otros.

Muchas respuestas ya, pero también quería intervenir con una perspectiva.

Hagamos una diferencia más dramática 1 + 999 o 999 + 1 = obviamente, ambos = 1000.

Te debo 1000 dólares. Puedo pagarle un número hoy y el monto restante dentro de 3 meses. ¿Hay alguna diferencia en su situación si le pago $ 1 ahora y $ 999 más adelante? O $ 999 ahora y $ 1 después.

Para responder a la pregunta original: Como matemático en fórmulas y aplicación práctica, la respuesta es no, no hay diferencia y se pasaría por alto en cuanto a la insignificancia del orden de suma.

Hasta ahora, ha tenido respuestas como “sí”, “no” y “quizás”, principalmente relacionadas con la selección de los detalles de “+”.

Permítanme elegir otro punto: en realidad no han definido “diferencia”. Aquí hay algunas cosas que podrías decir:

• la “diferencia” entre a y b es ab (o ba , si lo prefiere): en este caso, sí, hay una diferencia entre estos dos números (y esa diferencia es igual a 0)
• dos cadenas aritméticas son “diferentes” si son desiguales: en este caso, no, porque 4 + 5 y 5 + 4 son iguales (entre sí, y con 9, y con 3 * 3, y …)
• dos cadenas aritméticas son “diferentes” si están escritas de manera diferente: en este caso, obviamente sí
• dos cadenas aritméticas son “diferentes” si provienen de diferentes cálculos del mundo real: en este caso, sí, pero entonces 4 + 5 (= 4 niños + 5 niñas) también es diferente de 4 + 5 (= 4 niñas + 5 niños ), por lo que tendrá que trabajar duro para que esta definición tenga sentido

…y muchos más.

La respuesta es incierta porque la pregunta es incierta.

Todo esto me lleva a mi punto real: una de las cosas más valiosas que he aprendido, como matemático, es la importancia de hacer una buena pregunta. ¡Las respuestas no tienen sentido si son respuestas a malas preguntas!

Primero veremos cómo definimos el operador “+” para números naturales (y se puede generalizar a enteros).

Cada número natural tiene un sucesor único. Por ejemplo, 3 es el sucesor de 2 y 9 es el sucesor de 8, etc.

Deje [math] a ^ + [/ math] denotar el sucesor de [math] a [/ math]

Luego

[matemáticas] 4 + 5 = ((((4 ^ +) ^ +) ^ +) ^ +) ^ + [/ matemáticas]

El sucesor del sucesor del sucesor del sucesor del sucesor 4

[matemáticas] 5 + 4 = (((5 ^ +) ^ +) ^ +) ^ + [/ matemáticas]

El sucesor del sucesor del sucesor del sucesor de 5

Sí, para la mayoría de los matemáticos, sí hace la diferencia. Es porque una persona común solo conoce los números y, en su mayoría, es real o compleja.

Pero tomándolo matemáticamente, lo anterior no funciona:

-> Hablando con precisión, hay algo en el álgebra abstracta que no le permitiría hacer eso, ya que es muy posible que la estructura algebraica (por ejemplo, Grupos) en la que estamos trabajando no tenga la propiedad abeliana (conmutativa) (porque podría sucede 4 + 5 => otra cosa y 5 + 4 => cualquier noción diferente).

-> En segundo lugar funciona de manera general o en matemáticas como:

Vemos los elementos anteriores como enteros, números reales, etc. como todas estas cosas son ‘Campos’ (una estructura algebraica muy popular) en noción matemática y tienen propiedades abelianas y, por lo tanto, son ciertas.

La pregunta que está haciendo, ¿hay alguna diferencia entre [matemáticas] 4 + 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 + 4 [/ matemáticas], depende del tipo de [matemáticas] 4 + 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 + 4 [/ matemáticas]. ¿Son expresiones o son números?

La expresión [matemáticas] 4 + 5 [/ matemáticas] no es la misma que la expresión [matemáticas] 5 + 4 [/ matemáticas]. El número [matemáticas] 4 + 5 [/ matemáticas] es el mismo que el número [matemáticas] 5 + 4 [/ matemáticas].

Hasta que tenga una prueba de que el número [matemática] 4 + 5 [/ matemática] es igual al número [matemática] 5 + 4 [/ matemática], los trata como cosas diferentes; una vez que tiene una prueba (es un caso especial de conmutatividad de suma), entonces sabe que son números iguales. Incluso entonces, como expresiones, siguen siendo diferentes.

La misma cadena de símbolos puede referirse a diferentes cosas. En geometría [matemática] ABC [/ matemática] podría referirse al ángulo [matemática] ABC [/ matemática] o al triángulo [matemática] ABC [/ matemática]. Cuando una expresión es ambigua, es útil precederla por su tipo.

La respuesta corta es No, no hay diferencia porque hay un teorema que demuestra la conmutatividad de la suma en la aritmética clásica. La respuesta pedante es Sí, porque necesitas ese teorema para saber matemáticamente que no hay una verdadera diferencia.

Como soy un músico con formación clásica y hablo en un sentido musical, 4 + 5 sonará muy diferente de 5 + 4. Los números pueden representar una agrupación de notas, un cierto valor de nota, o medidas o frases. Para explicar simplemente lo que quiero decir con una unidad musical más pequeña, tome 4 notas para crear un motivo, con cualquier ritmo dentro de esas 4 notas, y luego 5 notas diferentes a continuación para completar un motivo más largo o una frase. repita este mismo patrón de notas de 4 + 5 y creará un sonido distinto. Ahora, si toma exactamente las mismas notas elegidas para 4 + 5 pero ahora lo cambia para que el conjunto de 5 sea el primero, entonces 5 + 4 sonará y se sentirá muy diferente. La forma de contarlo puede / podría sentirse bastante alterada. Este es un ejemplo de cómo 4 + 5 y 5 + 4 son distintos en sus características.

Aquí está mi regla de oro para programadores:

“Las cosas que son diferentes no son lo mismo”.

Cualquiera de las dos cosas tiene que ser diferente de alguna manera o no serían dos cosas. Solo puede tratar diferentes cosas como ‘lo mismo’ cuando en realidad son lo mismo con respecto a lo que está tratando de hacer.

Como otros han indicado aquí, depende de lo que el matemático esté tratando de hacer si son iguales en cualquier caso. Sin embargo, en abstracto no son lo mismo. Para cualquiera que necesite rigor, debe poder demostrar que ambas operaciones se comportan de la misma manera.

En el caso de dar aquí, 4 + 5 vs 5 + 4, la secuencia es diferente. Si, por ejemplo, usar 5 primero requiere más recursos que 4, entonces el comportamiento de estas secuencias será diferente. El resultado final puede ser el mismo, pero puede que no lo sea.

Mi regla general anterior es recordar a los programadores que deben tener cuidado con sus suposiciones y asegurarse de que las diferencias se manejen adecuadamente.

Tengo una respuesta quizás un poco más avanzada.

Lo es, e incluso para los físicos . Una rama de las matemáticas llamada geometría no conmutativa es uno de los fundamentos de la física cuántica. Es literalmente lo que dice el principio de incertidumbre de Heisenberg; en la escala cuántica, hacer [matemáticas] a + b [/ matemáticas] es completamente diferente de hacer [matemáticas] b + a [/ matemáticas]. Más tarde, durante los años 60-70, entendimos que esta no conmutatividad es la razón por la cual el tiempo es una cosa.

Para decirlo poéticamente, se podría decir que, hasta cierto punto, el tiempo (como ese sentimiento que llamamos tiempo, no una dimensión que usamos en otras descripciones) está pasando porque, en la base misma del universo, [matemáticas] a + b \ neq b + a [/ math].

Sugeriría leer sobre esto, aunque requiere un buen nivel. -, ya que también está profundamente relacionado con la temperatura nula de 3 grados Kelvin y, más en general, con la termodinámica del universo, así como (sí), como se descubrió recientemente, la distribución de números primos.

La conmutatividad está en el corazón de cosas increíbles pero muy concretas.

Sí: [matemática] 4 + 5 [/ matemática] es la imagen de [matemática] (4,5) [/ matemática] además mientras que [matemática] 5 + 4 [/ matemática] es la imagen de [matemática] (5 , 4) [/ matemáticas] bajo adición.

Análogamente, [matemática] 4 ^ 5 [/ matemática] es la imagen de [matemática] (4,5) [/ matemática] bajo exponenciación mientras que [matemática] 5 ^ 4 [/ matemática] es la imagen de [matemática] (5 , 4) [/ matemáticas] bajo exponenciación.

Aquí, la suma es la operación binaria.

[matemáticas] \ begin {align} f: \ mathbb {N} ^ 2 & \ to \ mathbb {N} \\ (a, b) & \ mapsto a + b \ end {align} [/ math]

y la exponenciación es la operación binaria

[matemáticas] \ begin {align} g: \ mathbb {N} ^ 2 & \ to \ mathbb {N} \\ (a, b) & \ mapsto a ^ b \ end {align} [/ math]

Resulta que [matemáticas] f (4,5) = f (5,4) [/ matemáticas]. De hecho, [math] f (a, b) = f (b, a) [/ math] para todos [math] a, b \ in \ mathbb {N} [/ math] y por eso decimos que [math] f [/ math] (la suma) es conmutativa .

Tenga en cuenta que [math] g (4,5) \ neq g (5,4) [/ math] y, por lo tanto, [math] g [/ math] (la exponenciación) no es conmutativa.

Un ejemplo de otra operación conmutativa es la adición tropical

[matemáticas] \ begin {align} (\ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}) ^ 2 & \ to \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \} \\ (a, b) & \ mapsto \ min \ {a, b \} \ end {align} [/ math]

Véalo así:

Haces un trabajo aburrido realmente simple;
¿Prefieres obtener 5a + 4b

O

4a + 5b?

a = dinero que obtienes por viajar a tu trabajo.

b = Salario por hora

¿Cuál eliges, 4 + 5 o 5 + 4? 😉

Aunque no hay realmente una diferencia si solo trabajas 1 hora, algunas personas aún pueden elegir 5 + 4 porque les gusta más el trabajo. (Tenga en cuenta que todos los números son ejemplos)

–

En pocas palabras, los números pueden representar un cierto valor multiplicado por una o más variables, su preferencia personal decide qué variable prefiere ver filosófica …

4 ananas B
5 pipas A

Corrígeme si me equivoco, soy un asco en matemáticas

Ninguna. 4 + 5 = 5 + 4, porque la suma es una operación conmutativa , lo que significa que puede cambiar el orden de los números que está sumando sin afectar el resultado.

Entonces, para generalizar el enunciado anterior, que ayb sean dos números,
entonces a + b = b + a.

Por el contrario, hay operaciones no conmutativas , como la división o la resta, donde cambiar el orden de los números produce un resultado diferente al de la operación original, por ejemplo, 4–5! = 5–4, porque -1! = 1.

La suma también es asociativa, lo que significa que al sumar 3 o más números, cambiar su orden produce el mismo resultado.
Entonces, para cualquiera de los tres números a, byc, es cierto que (a + b) + c = a + (b + c) .

Como programador, lo veo desde otra perspectiva (de la vida real). Permítanme explicarles la diferencia con un simple ejemplo.
a) 4 naranjas + 5 manzanas = 9 frutas
b) 5 naranjas + 4 manzanas = 9 frutas

Puede ver que el objeto final es el mismo en ambas ocasiones, pero el número de cada objeto que se usó no es el mismo. Esto sucede porque son discretos. Si usamos los mismos objetos, entonces es el mismo.