Teorema binomial
Recordemos el teorema binomial:
[matemáticas] \ displaystyle (a + b) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n C ^ n_k a ^ kb ^ {nk} \ tag * {} [/ matemáticas]
- ¿Qué áreas de las matemáticas puras son más relevantes para la industria?
- ¿Cuál es la conjetura matemática más antigua?
- ¿Cuál es el mayor número de 4 dígitos que es exactamente divisible por 40, 48 y 60?
- ¿Por qué seguimos haciendo matemáticas en el grado 12 cuando son habilidades inútiles?
- Cómo derivar la fórmula de encontrar la velocidad relativa para velocidades más altas, es decir: [matemáticas] V _ {\ rm rel} = \ frac {V_ {2} -V_ {1}} {1- \ frac {V_ {1} V_ {2 }} {c ^ 2}} [/ matemáticas]
Al sustituir [matemáticas] a = b = 1 [/ matemáticas], tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ sum_ {k = 0} ^ n C ^ n_k = 2 ^ n} \ tag * {} [/ math]
Argumento combinatorio
La suma se refiere a la cantidad de formas en que puede elegir cualquier cantidad de objetos de [matemática] n [/ matemática] objetos. Porque puede contar el número de formas de elegir 0 objeto de [matemática] n [/ matemática], y luego 1 objeto, y así sucesivamente.
Otra forma de pensar sobre la suma sería: puedes elegir, para cada objeto, si elegir o no elegir, por lo que tienes 2 opciones para cada objeto, y por lo tanto, el número total de formas sería [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas].
Triángulo de Pascal
La suma se refiere a la suma de los números en la enésima fila del triángulo de Pascal. Cuando nos movemos de la fila anterior a la siguiente fila de números, lo que hacemos es sumar dos números para obtener el siguiente.
Cuando sumamos la siguiente fila de números, primero ignore los dos 1. Entonces te das cuenta de que lo que estás sumando sería el doble de los números anteriores (no los 1), y una vez para los 1 en dos lados. Agregando esos 2 ‘1 que hemos ignorado, la siguiente fila en realidad tiene una suma dos veces la fila anterior.
Como para la primera fila, la suma es 2, la suma de la fila [matemática] n [/ matemática] sería [matemática] 2 ^ n [/ matemática].