Teorema binomial
Recordemos el teorema binomial:
[matemáticas] \ displaystyle (a + b) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n C ^ n_k a ^ kb ^ {nk} \ tag * {} [/ matemáticas]
- ¿Es el coeficiente de un término medio en una expansión binomial el mayor coeficiente en toda la expansión?
- ¿Cuáles son las mejores representaciones matemáticas de la selección natural?
- ¿Cuál es la longitud del arco del círculo x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 (usando la ecuación cartesiana de rectificación de la curva plana)?
- En términos matemáticos, ¿qué significa 'evaluar'?
- ¿Es 1 + 1 = 1 matemáticamente posible?
Al sustituir [matemáticas] a = b = 1 [/ matemáticas], tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ sum_ {k = 0} ^ n C ^ n_k = 2 ^ n} \ tag * {} [/ math]
Argumento combinatorio
La suma se refiere a la cantidad de formas en que puede elegir cualquier cantidad de objetos de [matemática] n [/ matemática] objetos. Porque puede contar el número de formas de elegir 0 objeto de [matemática] n [/ matemática], y luego 1 objeto, y así sucesivamente.
Otra forma de pensar sobre la suma sería: puedes elegir, para cada objeto, si elegir o no elegir, por lo que tienes 2 opciones para cada objeto, y por lo tanto, el número total de formas sería [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas].
Triángulo de Pascal
La suma se refiere a la suma de los números en la enésima fila del triángulo de Pascal. Cuando nos movemos de la fila anterior a la siguiente fila de números, lo que hacemos es sumar dos números para obtener el siguiente.
Cuando sumamos la siguiente fila de números, primero ignore los dos 1. Entonces te das cuenta de que lo que estás sumando sería el doble de los números anteriores (no los 1), y una vez para los 1 en dos lados. Agregando esos 2 ‘1 que hemos ignorado, la siguiente fila en realidad tiene una suma dos veces la fila anterior.
Como para la primera fila, la suma es 2, la suma de la fila [matemática] n [/ matemática] sería [matemática] 2 ^ n [/ matemática].
