La topología es un gran ejemplo de los poderes de abstracción. Demonios, también podría llamarse “análisis abstracto”, para establecer paralelos con el “álgebra abstracta”.
El punto de hacer las cosas en un nivel abstracto es, en términos generales, la portabilidad. En otras palabras, si estás explorando alguna otra pregunta y te das cuenta, “caramba, puedo topologizar este espacio de una manera que tenga sentido en mi contexto”, entonces listo: puedes importar instantáneamente todos estos resultados abstractos que aprendas en topología
No me malinterpretes, no es como si realmente necesitaras dominar todas las topologías exóticas y extrañas que encuentras en una clase de topología. Muchas de esas topologías exóticas existen principalmente como contraejemplos de no teoremas que tienen un atractivo intuitivo. Por ejemplo, si termina especializándose en análisis, debe conocer la topología. Pero las topologías que encuentre “en la naturaleza” provendrán de una métrica o de algo bastante parecido (es decir, una familia de semi-normas). Si no sabe lo que significan esas palabras, mi punto es que tales topologías son bastante naturales.
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Si va a otras áreas, encontrará topologías que pueden parecer extrañas. La topología de Zariski, por ejemplo, puede parecer totalmente exótica si solo dice lo que es sin motivación. (Y no diré qué es, ni proporcionaré motivación). Pero es importante recordar que estas topologías surgen en un contexto , y en ese contexto son perfectamente naturales. O al menos no de aspecto completamente arbitrario.
En una clase de topología , puede tener la impresión de que las topologías son como un obsequio de Oprah Winfrey: “ ¡ obtienes una topología! ¡Y obtienes una topología! ¡Todo el mundo tiene una topología aaaaaaa! ”. En realidad, vas a trabajar como máximo con un puñado de topologías una y otra vez.
