Este es un teorema de Alfred Tarski de 1924. Para aclarar, demostró la equivalencia de estas dos declaraciones en la teoría de conjuntos (ZF) de Zermelo-Fraenkel:
- (AC) Cada conjunto admite un buen orden. (Gracias a Zermelo, en ese momento ya se sabía que esto es equivalente a la afirmación de que todo producto cartesiano de conjuntos no vacíos no está vacío).
- (*) Cada conjunto infinito [matemática] A [/ matemática] admite una biyección al producto cartesiano [matemática] A \ veces A [/ matemática]. (Solo quiero aclarar esto, porque algunos teóricos de conjuntos reservan la notación [math] | A | [/ math] para el ordinal más pequeño que admite una biyección con el conjunto [math] A [/ math], por lo que presupone que tal ordinal existe.)
La implicación AC [matemática] \ implica [/ matemática] (*) puede probarse por inducción transfinita. De hecho, independientemente de AC, cada ordinal [math] \ alpha [/ math] admite una biyección con [math] \ alpha \ times \ alpha [/ math].
La prueba de Tarski de la implicación inversa, (*) [matemáticas] \ implica [/ matemáticas] AC, se basa en un teorema de 1915 de Friedrich Hartogs: Para cada conjunto [matemáticas] X [/ matemáticas], existe un ordinal [matemáticas] \ beta [/ math] para el que no hay inyección [math] \ beta \ hookrightarrow X [/ math]. Esto se mantiene en ZF, independientemente de AC. El más pequeño como [math] \ beta [/ math], llamado el ordinal de Hartogs de [math] X [/ math], puede construirse explícitamente como el menor ordinal mayor que los correspondientes a todos los ordenamientos de subconjuntos de [math] X [/ matemáticas].
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La prueba de Tarski se puede dibujar de la siguiente manera. Suponiendo (*), que [math] X [/ math] sea cualquier conjunto; encontraremos un buen orden para [math] X [/ math]. Si [math] X [/ math] es finito, entonces, por definición, [math] X [/ math] está en biyección con un ordinal finito y, por lo tanto, puede estar bien ordenado. De lo contrario, deje que [math] \ beta [/ math] sea el ordinal de Hartogs para [math] X [/ math]. Podemos, sin pérdida de generalidad, reemplazar [matemáticas] X [/ matemáticas] por un conjunto de objetivos, para suponer [matemáticas] X \ cap \ beta = \ emptyset [/ matemáticas]. Tarski muestra primero que, bajo el supuesto (*), hay una biyección [matemática] X \ veces \ beta \ xrightarrow {f} X \ cup \ beta [/ matemática]. Entonces tambien
- Existe [math] x \ en X [/ math] tal que [math] \ {f (x, a) \ mid a \ in \ beta \} \ subset X [/ math], o
- Para cada [matemática] x \ en X [/ matemática], existen [matemática] a, b \ in \ beta [/ matemática] tal que [matemática] f (x, a) = b [/ matemática].
En el caso 1, el mapa [math] \ beta \ ni a \ mapsto f (x, a) \ in X [/ math] define una inyección [math] \ beta \ hookrightarrow X [/ math], que contradice la definición de Hartogs ordinal. Entonces el caso 2 debe ser válido. El hecho de que [math] \ beta [/ math] esté bien ordenado significa que hay una función [math] X \ xrightarrow {g} \ beta [/ math] que envía cada [math] x \ in X [/ math] al elemento mínimo [math] b \ in \ beta [/ math] para el que existe [math] a \ in \ beta [/ math] con [math] f (x, a) = b [/ math]. Como [math] f [/ math] es biyectivo, [math] g [/ math] debe ser inyectivo. Luego, retirando el orden correcto en [matemáticas] \ beta [/ matemáticas] a través de [matemáticas] g [/ matemáticas], tenemos un buen orden en [matemáticas] X [/ matemáticas], según se desee.
Referencias (de Wikipedia):
El teorema de Tarski sobre la elección
Número de Hartogs
Ordinal de Hartogs – Wikipédia (en francés)
Estas páginas tienen enlaces a los documentos originales de Tarski y Hartogs.