Probablemente la aplicación más simple de explicar de la propiedad de convolución es la deconvolución. Como un ejemplo concreto de convolución y deconvolución:
- Suponga que instala un micrófono omnidireccional en el estacionamiento de un gran complejo de oficinas, de modo que algunos edificios altos miren el micrófono a varias distancias.
- Supongamos que activamos un petardo y que grabamos el sonido del petardo. Luego, en la repetición de la grabación [matemáticas] X [/ matemáticas], escucharemos el petardo y varios ecos.
- Supongamos que también activamos unas pocas docenas de petardos cerca del mismo micrófono, con varios retrasos entre sus explosiones. Llamemos a esta grabación [matemáticas] Y [/ matemáticas]. Debido a los edificios, cuando reproducimos [matemática] Y [/ matemática], escucharemos una confusión de ruidos de explosión y sus ecos, algunos más fuertes, otros más silenciosos.
- Si pudiéramos encender exactamente la misma cadena de petardos sin edificios cercanos, grabaríamos una banda sonora mucho más simple [math] y [/ math], en la que cada petardo se escucha solo una vez, sin ecos.
- Matemáticamente, la banda sonora confusa [matemática] Y [/ matemática] es solo la convolución de la respuesta al impulso [matemática] X [/ matemática] con la banda sonora más simple [matemática] y [/ matemática]: [matemática] Y = X * y [/ matemáticas].
- Ahora supongamos que nos gustaría conocer la banda sonora más simple [math] y [/ math]. Configurar exactamente la misma serie de explosiones dos veces, con los mismos intervalos de tiempo en ambas ocasiones, sería bastante difícil. Pero, sabiendo que [matemáticas] Y = X * y [/ matemáticas], podemos reconstruir [matemáticas] y [/ matemáticas], deconvolucionando la grabación confusa [matemáticas] Y [/ matemáticas]:
- Si observamos la transformación de Fourier [matemática] F (X) [/ matemática] de la grabación de un solo petardo, entonces [matemática] F (X) [/ matemática] describe la “respuesta de impulso” del complejo de oficinas de una manera más útil manera que [matemática] X [/ matemática] hace.
- Para desconvolucionar [matemáticas] Y [/ matemáticas], comenzamos con las transformadas de Fourier [matemáticas] F (Y) [/ matemáticas] y [matemáticas] F (X) [/ matemáticas], y con la propiedad de convolución de Fourier, que indica nosotros que [matemáticas] F (X) F (y) = F (X * y) [/ matemáticas].
- Entonces, en principio, podemos recuperar [matemática] F [y) [/ matemática] por división simple de las dos funciones de transformación: [matemática] F (y) = F (X * y) / F (X) = F (Y ) / F (X) [/ matemáticas]. En la práctica, debemos tener cuidado de no dividir por cero en ninguna parte, pero resulta que la función de respuesta al impulso [matemática] F (X) [/ matemática] en realidad nunca desaparece, porque la banda sonora del petardo individual [matemática] X [/ matemática] se compone de algunas explosiones muy breves, sin tonos puros.
- Habiendo calculado [matemática] F (y) = F (Y) / F (X) [/ matemática], podemos invertir la transformada de Fourier para recuperar [matemática] y [/ matemática]: [matemática] y = F ^ {- 1} (F (Y) / F (X)) [/ matemáticas].
Entonces, para recapitular, comenzamos con dos grabaciones de petardos en el parque de oficinas:
- [matemáticas] X [/ matemáticas], una grabación de un solo petardo y sus ecos;
- [matemáticas] Y [/ matemáticas], una grabación de muchos petardos con sus ecos.
Luego, utilizamos la deconvolución para eliminar los ecos de [matemáticas] Y [/ matemáticas], a fin de escuchar una banda sonora derivada [matemáticas] y [/ matemáticas], que revela cómo sonarían los múltiples petardos en una llanura abierta sin edificios cercanos.
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Resulta que la transformación de Fourier también puede funcionar en imágenes 2-D, y la transformación 2-D tiene la misma propiedad de convolución. Entonces, si tiene una foto imperfecta de un campo de estrellas, y si sabe con precisión cómo su telescopio difumina la imagen de una sola estrella, entonces es posible eliminar algo de desenfoque de su foto imperfecta, utilizando este mismo truco de desconvolución.
En general, muchos fenómenos físicos se comportan matemáticamente como efectos de convolución, y dado que la convolución puede ser difícil de trabajar, la transformación de Fourier (y la transformación de Laplace) son muy útiles para analizar y modelar tales sistemas. Al mover nuestro modelo matemático al dominio de la frecuencia, de modo que las operaciones de convolución se conviertan en multiplicaciones de transformaciones, a menudo podemos simplificar nuestras manipulaciones matemáticas.
