Se utilizan diferentes mnemotécnicos en diferentes países. En los Estados Unidos, el acrónimo PEMDAS es común. Significa paréntesis, exponentes, multiplicación / división, suma / resta. … Del mismo modo, en el Reino Unido, se utiliza BIDMAS , que representa corchetes, índices, división / multiplicación, suma / resta.
En matemáticas y programación de computadoras, el orden de las operaciones (o precedencia del operador ) es una colección de reglas que reflejan las convenciones sobre qué procedimientos realizar primero para evaluar una expresión matemática dada.
Por ejemplo, en matemáticas y en la mayoría de los lenguajes de computadora, a la multiplicación se le otorga una mayor prioridad que a la suma, y así ha sido desde la introducción de la notación algebraica moderna.
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Por lo tanto, la expresión 2 + 3 × 4 se interpreta que tiene el valor 2 + (3 × 4) = 14, no (2 + 3) × 4 = 20. Con la introducción de exponentes en los siglos XVI y XVII, fueron tiene prioridad sobre la suma y la multiplicación y solo se puede colocar como un superíndice a la derecha de su base.
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Así 3 + 52 = 28 y 3 × 52 = 75.
Estas convenciones existen para eliminar la ambigüedad al tiempo que permiten que la notación sea lo más breve posible. Cuando se desea anular las convenciones de precedencia, o incluso simplemente enfatizarlas, los paréntesis () (a veces reemplazados por corchetes [] o llaves {} para facilitar la lectura) pueden indicar un orden alternativo o reforzar el orden predeterminado para evitar confusiones. Por ejemplo, (2 + 3) × 4 = 20 fuerzas de suma para preceder a la multiplicación, y (3 + 5) 2 = 64 fuerzas de suma para preceder a la exponenciación.
Contenido
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- 1 Definición 1.1 Ejemplos Ejemplos 1.2 Excepciones
- 2Mnemónica
- 3 Casos especiales
- 4 calculadoras
- 5 Lenguajes de programación
- 6Ver también
- 7Notas
- 8 referencias
- 9 Enlaces externos
Definición [ editar ]
Aquí se expresa el orden de las operaciones utilizadas en matemáticas, ciencias, tecnología y muchos lenguajes de programación de computadoras:
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- exponentes [1] y raíces
- multiplicación [1] y división [1]
- suma [1] y resta [1]
Esto significa que si una expresión matemática está precedida por un operador binario y seguida por otro, el operador más alto en la lista debe aplicarse primero.
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Las leyes conmutativas y asociativas de la suma y la multiplicación permiten agregar términos en cualquier orden y multiplicar factores en cualquier orden, pero las operaciones mixtas deben obedecer el orden estándar de las operaciones.
Es útil tratar la división como multiplicación por el recíproco (inverso multiplicativo) y la resta como la suma del opuesto (inverso aditivo). Así 3 ÷ 4 = 3 × ¼; en otras palabras, el cociente de 3 y 4 es igual al producto de 3 y ¼. También 3 – 4 = 3 + (−4); en otras palabras, la diferencia de 3 y 4 es igual a la suma de 3 y −4. Por lo tanto, 1 – 3 + 7 puede considerarse como la suma de 1, −3 y 7, y sumar en cualquier orden: (1 – 3) + 7 = −2 + 7 = 5 y en orden inverso (7 – 3) + 1 = 4 + 1 = 5, manteniendo siempre el signo negativo con el 3.
El símbolo raíz √ requiere un símbolo de agrupación alrededor del radicando. El símbolo habitual de agrupación es una barra (llamada vinculum) sobre el radicando. Otras funciones usan paréntesis alrededor de la entrada para evitar la ambigüedad. Los paréntesis a veces se omiten si la entrada es un monomio. Por lo tanto, sin 3x = sin (3x), pero sin x + y = sin (x) + y, porque x + y no es un monomio.
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Algunas calculadoras y lenguajes de programación requieren paréntesis alrededor de las entradas de funciones, otras no.
Los símbolos de agrupación se pueden usar para anular el orden habitual de las operaciones.
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Los símbolos agrupados se pueden tratar como una sola expresión.
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Los símbolos de agrupación pueden eliminarse utilizando las leyes asociativas y distributivas, también pueden eliminarse si la expresión dentro del símbolo de agrupación está suficientemente simplificada para que no se produzca ninguna ambigüedad de su eliminación.
Ejemplos [ editar ]
[matemáticas] {\ displaystyle {\ sqrt {1 + 3}} + 5 = {\ sqrt {4}} + 5 = 2 + 5 = 7.} [/ matemáticas]
Una línea fraccional horizontal también actúa como un símbolo de agrupación:
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {1 + 2} {3 + 4}} + 5 = {\ frac {3} {7}} + 5.} [/ matemáticas]
Para facilitar la lectura, a menudo se utilizan otros símbolos de agrupación, como las llaves {} o los corchetes [], junto con los paréntesis (). Por ejemplo:
[matemáticas] {\ displaystyle [(1 + 2) -3] – (4-5) = [3-3] – (- 1) = 1.} [/ matemáticas]
Excepciones [ editar ]
Existen diferentes convenciones sobre el operador unario (generalmente se lee “menos”). En matemáticas escritas o impresas, la expresión −3
2
se interpreta que significa 0 – (32) = – 9,
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pero en algunas aplicaciones y lenguajes de programación, especialmente Microsoft Excel (y otras aplicaciones de hojas de cálculo) y el lenguaje de programación bc, los operadores unarios tienen una prioridad más alta que los operadores binarios, es decir, el menos unario tiene mayor prioridad que la exponenciación, por lo que en esos idiomas: 3
2
se interpretará como (−3) 2 = 9.
[5]
Esto no se aplica al operador binario menos -; por ejemplo, mientras que las fórmulas =-2^2 y =0+-2^2 devuelven 4 en Microsoft Excel, la fórmula =0-2^2 devuelve −4. En los casos en que existe la posibilidad de que la notación se malinterprete, se puede ejecutar una operación binaria menos especificando explícitamente un 0 inicial (como en 0-2^2 lugar de solo -2^2 ), o se pueden usar paréntesis para aclarar el significado pretendido.
Del mismo modo, puede haber ambigüedad en el uso del símbolo de barra diagonal / en expresiones como 1/2 x .
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Si uno reescribe esta expresión como 1 ÷ 2 x y luego interpreta el símbolo de división como indicando la multiplicación por el recíproco, esto se convierte en:
1 ÷ 2 × x = 1 × ½ × x = ½ × x .
Con esta interpretación, 1 ÷ 2 x es igual a (1 ÷ 2) x .
[1]
[7]
Sin embargo, en parte de la literatura académica, la multiplicación denotada por la yuxtaposición (también conocida como multiplicación implícita) se interpreta con mayor precedencia que la división, de modo que 1 ÷ 2 x es igual a 1 ÷ (2 x ), no (1 ÷ 2) x . Por ejemplo, las instrucciones de envío de manuscritos para las revistas de Physical Review establecen que la multiplicación tiene mayor prioridad que la división con una barra diagonal,
[8]
y esta es también la convención observada en los libros de texto de física prominentes como el Curso de física teórica de Landau y Lifshitz y las Lecturas de física de Feynman .
[nb 1]
Mnemónicos [ editar ]
La mnemotecnia se usa a menudo para ayudar a los estudiantes a recordar las reglas, involucrando las primeras letras de palabras que representan varias operaciones. Se utilizan diferentes mnemónicos en diferentes países.
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[11]
- En los Estados Unidos, el acrónimo PEMDAS es común. Significa P arentheses, E xponents, M ultiplication / D ivision, A ddition / S ubtraction. PEMDAS a menudo se expande a la mnemónica ” Por favor, disculpe a mi querida tía Sally “. [6]
- Canadá y Nueva Zelanda usan BEDMAS , representando raquetas B , E xponentes, D ivision / M ultiplication, A ddition / S ubtraction.
- Los más comunes en el Reino Unido, India y Australia [12] son BODMAS que significa raquetas B , O rder, D ivision / M ultiplication, A ddition / S ubtraction. Nigeria y algunos otros países de África occidental también usan BODMAS. De manera similar, en el Reino Unido, se usa BIDMAS , que representa las raquetas B , los índices, la división D / incisión M , la adición / extracción.
Estas mnemónicas pueden ser engañosas cuando se escriben de esta manera.
[6]
Por ejemplo, el uso de cualquiera de las reglas anteriores en el orden “suma primero, resta después” evaluaría incorrectamente la expresión
[6]
10-3 + 2.
El valor correcto es 9 (y no 5, como si la suma se llevara a cabo primero y el resultado se usara con la resta después).
Casos especiales [ editar ]
Si la exponenciación se indica mediante símbolos apilados, la regla habitual es trabajar de arriba hacia abajo, porque la exponenciación es asociativa a la derecha en matemáticas, por lo tanto:
[1]
[13]
abc = a ( bc )
que normalmente no es igual a ( a
si
)
C
.
Sin embargo, algunos sistemas informáticos pueden resolver la expresión ambigua de manera diferente.
[14]
Por ejemplo, Microsoft Excel evalúa a^ b^ c como ( a
si
)
C
, que es opuesto a la convención normalmente aceptada del orden de ejecución de arriba hacia abajo para la exponenciación. Así, 4^3^2 se evalúa a 4.096 en lugar de 262.144. Otra diferencia en Microsoft Excel es - a^ b que se evalúa como (- a)^ b lugar de -( a^ b) . Por compatibilidad, se observa el mismo comportamiento en LibreOffice. El lenguaje de programación computacional MATLAB es otro ejemplo de un sistema informático que resuelve la exponenciación apilada de una manera no estándar.
Calculadoras [ editar ]
Artículo principal: métodos de entrada de la calculadora
Diferentes calculadoras siguen diferentes órdenes de operaciones. Muchas calculadoras simples sin una pila implementan una entrada en cadena que funciona de izquierda a derecha sin ninguna prioridad dada a los diferentes operadores, por ejemplo, escribiendo
1 + 2 × 3 produce 9,
mientras que las calculadoras más sofisticadas utilizarán una prioridad más estándar, por ejemplo, escribir
1 + 2 × 3 rinde 7.
El programa Microsoft Calculator utiliza el primero en su vista estándar y el segundo en sus vistas científica y de programador.
La entrada en cadena espera dos operandos y un operador. Cuando se presiona el siguiente operador, la expresión se evalúa inmediatamente y la respuesta se convierte en la mano izquierda del siguiente operador. Las calculadoras avanzadas permiten la entrada de la expresión completa, agrupada según sea necesario, y evalúa solo cuando el usuario usa el signo igual.
Las calculadoras pueden asociar exponentes a la izquierda o a la derecha según el modelo o el modo de evaluación. Por ejemplo, la expresión a^ b^ c se interpreta como a
( b
C
)
en la TI-92 y la TI-30XS MultiView en “modo Mathprint”, mientras que se interpreta como ( a
si
)
C
en la TI-30XII y la TI-30XS MultiView en “Modo clásico”.
Una expresión como 1/2 x es interpretada como 1 / (2 x ) por TI-82, pero como (1/2) x por TI-83 y cualquier otra calculadora TI lanzada desde 1996,
[15]
así como por todas las calculadoras Hewlett-Packard con notación algebraica. Si bien algunos usuarios pueden esperar la primera interpretación, solo la segunda está de acuerdo con la regla estándar de que la multiplicación y la división tienen la misma precedencia,
[dieciséis]
[17]
entonces 1/2 x se lee uno dividido por dos y la respuesta multiplicada por x .
Cuando el usuario no está seguro de cómo una calculadora interpretará una expresión, es una buena idea usar paréntesis para que no haya ambigüedad.
Las calculadoras que utilizan la notación polaca inversa (RPN), también conocida como notación postfix, usan una pila para ingresar fórmulas sin necesidad de paréntesis.
[6]
Lenguajes de programación [ editar ]
Algunos lenguajes de programación usan niveles de precedencia que se ajustan al orden comúnmente utilizado en matemáticas,
[14]
aunque otros, como APL, Smalltalk u Occam, no tienen reglas de precedencia de operadores (en APL, la evaluación es estrictamente de derecha a izquierda; en Smalltalk y Occam, es estrictamente de izquierda a derecha).
Además, debido a que muchos operadores no son asociativos, el orden dentro de cualquier nivel individual generalmente se define agrupando de izquierda a derecha para que 16/4/4 se interprete como (16/4) / 4 = 1 en lugar de 16 / (4 / 4) = 16; tales operadores se denominan, de manera engañosa, “asociativos de izquierda”. Existen excepciones; por ejemplo, los idiomas con operadores correspondientes a la operación de contras en las listas generalmente los hacen agrupar de derecha a izquierda (“asociativo a la derecha”), por ejemplo, en Haskell, 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4] .
Los operadores lógicos bit a bit en C (y todos los lenguajes de programación que toman prestada las reglas de precedencia de C, por ejemplo, C ++, Perl y PHP) tienen un nivel de precedencia que el creador del lenguaje C considera insatisfactorio.
[18]
Sin embargo, muchos programadores se han acostumbrado a este orden. Los niveles de precedencia relativa de los operadores que se encuentran en muchos lenguajes de estilo C son los siguientes:
1
() [] ->. :: ::
Llamada de función, alcance, acceso a matriz / miembro
2
! ~ – + * y sizeof type cast ++ –
(la mayoría) operadores unarios, tamaño y tipo de moldes (de derecha a izquierda)
3
* / % MODIFICACIÓN
Multiplicación, división, módulo
4 4
+ –
Adición y sustracción
5 5
<< >>
Desplazamiento bit a izquierda y derecha
6 6
<<=>> =
Comparaciones: menor que y mayor que
7 7
==! =
Comparaciones: igual y no igual
8
Y
Bitwise Y
9
^
Bitwise exclusivo OR (XOR)
10
El |
Bitwise inclusive (normal) O
11
&&
Y lógico
12
||
O lógico
13
? :
Expresión condicional (ternaria)
14
= + = – = * = / =% = & = | = ^ = << = >> =
Operadores de asignación (de derecha a izquierda)
15
,
Operador de coma
Ejemplos: (Nota: en los ejemplos a continuación, ‘≡’ se usa para significar “es equivalente a”, y no debe interpretarse como un operador de asignación real usado como parte de la expresión de ejemplo).
-
!A + !B ≡ (!A) + (!B)
-
++A + !B ≡ (++A) + (!B)
-
A + B * C ≡ A + (B * C)
-
A || B && C A || B && C ≡ A || (B && C) A || (B && C)
-
A && B == C ≡ A && (B == C)
-
A & B == C ≡ A & (B == C)
Los compiladores de fuente a fuente que compilan en varios idiomas deben abordar explícitamente el problema del orden diferente de las operaciones en todos los idiomas. Haxe, por ejemplo, estandariza el orden y lo aplica insertando corchetes donde sea apropiado.
[19]
Se ha encontrado que la precisión del conocimiento del desarrollador de software sobre la precedencia del operador binario sigue de cerca su frecuencia de ocurrencia en el código fuente.
[20]
