¿Qué es un teorema en términos simples?

En lógica (matemáticas), un teorema es una declaración válida. Si una declaración tiene varias interpretaciones, entonces es teorema si y solo si todas sus interpretaciones son válidas.

Uno de los teoremas fundamentales de la lógica matemática es el teorema de integridad de Gödel (que no debe confundirse con los teoremas de incompletitud de Gödel) que dice que en la lógica de primer orden una declaración es un teorema si y solo si es demostrable. Por lo tanto, ser un teorema y tener una prueba son lo mismo, pero solo si ponemos algunas restricciones leves en las declaraciones y sus interpretaciones.

Es una tradición en la literatura matemática marcar las conclusiones más importantes por “teorema”. Eso no significa que otras declaraciones en el texto no sean válidas. Ayuda al lector a reconocer las conclusiones. Esto no es un lujo porque la literatura matemática es difícil de leer.

Un teorema es una declaración que ha sido rigurosamente probada.

Si desea ser aún más exigente y detallado, puede agregar que debe probarse usando solo datos, postulados / axiomas (declaraciones poderosas que se toman sin pruebas) y teoremas que ya han sido probados de esa manera.

Aquí hay un ejemplo de algo que es un teorema: si x + 5 = 8, entonces x = 3. Sabemos eso por álgebra simple, y porque podemos deducirlo de las leyes de álgebra, podemos probarlo, y por lo tanto Es un teorema.

Aquí hay algo que no es un teorema: me gusta el chocolate. Si bien me puede gustar el chocolate, no puedo probarlo rigurosamente. Para hacer eso, tendría que definir el chocolate, y luego eso me metería en un lío completo.

Los teoremas son muy importantes, matemáticamente, y si quieres llegar a algún lado, tienes que probar tus teoremas, o de lo contrario terminarás con una declaración loca y no tendrás idea de si es verdad o no.

Un teorema es una garantía de que una declaración (o situación) abarca otra.

Un ejemplo de esto es “Si estás en Beijing, entonces estás en China”. La razón por la que usé la palabra “abarcar” arriba es para transmitir que lo contrario de la declaración no es necesariamente cierto. Por ejemplo, si estás en China, es posible que estés en Shanghai.

Un teorema también puede ser una garantía de que dos afirmaciones o situaciones son equivalentes.

Un ejemplo de esto es “Si estás en Beijing, entonces estás en Pekín”. Si bien este ejemplo puede parecer superficial, los teoremas de esta naturaleza a menudo pueden ser mucho más sorprendentes.

Un teorema es solo una declaración que ha sido probada. Por lo general, solo los resultados principales se denominan teoremas; de lo contrario, son solo “proposiciones” o, si solo se usan técnicamente para probar otras proposiciones / teoremas, “lemas”.

Es la última línea de una prueba. Entonces, ¿qué es una prueba? Es una secuencia de enunciados que comienza con un axioma del sistema con el que está trabajando y continúa utilizando axiomas o enunciados derivados de reglas lógicas de inferencia.