La cuestión de qué cosas son preservadas o no preservadas por qué functores es central en la teoría de categorías y sus aplicaciones.
Algunos functores conservan los productos, pero otros no. Algunos conservan otros tipos de límites (o colimits), como retrocesos o límites inversos, etc., y otros no. La cuestión de si un functor dado conserva o no alguna estructura puede ser fácil o muy difícil, dependiendo del contexto.
Un ejemplo simple de un functor que no conserva productos es “producto con algún objeto fijo”. Tome su categoría favorita, digamos Set para que sea simple, deje que [math] A [/ math] sea cualquier conjunto, y deje que [math] F: [/ math] Set [math] \ to [/ math] Set sea el functor que toma un conjunto [matemático] X [/ matemático] al conjunto [matemático] A \ veces X [/ matemático]. Entonces [math] F [/ math] simplemente multiplica cualquier conjunto dado por [math] A [/ math]. Un functor también debe saber qué hacer con los morfismos, y de hecho si [math] f: X \ to Y [/ math] es un mapa establecido, entonces [math] F (f) [/ math] es simplemente el mapa [math] \ text {id} _A \ times f [/ math] que asigna [math] A \ times X [/ math] a [math] A \ times Y [/ math] manteniendo los elementos de [math] A [/ math ] fijo puntual y utilizando [math] f [/ math] para asignar un elemento de [math] X [/ math] a un elemento de [math] Y [/ math].
Eso es todo: es un functor realmente simple, nada lujoso, pero tan pronto como [math] A [/ math] no es un singleton, entonces este functor no conserva los productos, ya que [math] A \ times (X \ times Y ) [/ math] no es lo mismo que [math] (A \ times X) \ times (A \ times Y) [/ math].
Otro ejemplo en el que debe pensar es aún más natural: en lugar de productos, observe los coproductos. El coproducto de dos conjuntos es su unión disjunta, y el coproducto de dos grupos es su producto libre . De ello se deduce que el olvidadizo functor, que asigna un grupo a su conjunto subyacente, no conserva los coproductos (sin embargo, conserva los productos).
Muchas categorías importantes en matemáticas son categorías abelianas, que tienen una estructura más rica que las categorías simples: tienen núcleos, núcleos, secuencias exactas, etc.
En el contexto de las categorías abelianas, existe una noción crucial de functores exactos a la izquierda y a la derecha. Esos son functores que preservan el lado izquierdo o el lado derecho de una secuencia exacta corta. Muchos, muchos functores son uno u otro sin ser completamente exactos; Se puede entender que grandes extensiones de matemática surgen de la exactitud a la izquierda o la exactitud a la derecha de ciertos functores y las estructuras resultantes de los functores derivados que vienen a “parchar” la parte rota de las secuencias.
En primer lugar, aquí hay otro ejemplo de una propiedad importante de los functores que se define por lo que hacen y no preservan.
Pero también, resulta que los functores aditivos exactos a la izquierda son exactamente los que conservan los productos, y de hecho todos los límites finitos. Entonces, en cierto sentido, la respuesta a su pregunta es que, en muchos contextos, los functores que preservan los productos son aquellos que se dejan exactos, y esa es una clase fundamentalmente importante de functores.
Entonces, ¡felicidades por notarlo por ti mismo!
