Para simplificar las cosas, discutiré solo secuencias de números reales. Para ser claros, una secuencia es una lista de números como [matemáticas] (1, \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {4}, \ dots). [ / matemática] Una serie es la suma de una secuencia: [matemática] (1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ dots) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n}. [/ math] Se dice que una secuencia [math] (x_1, x_2, x_3, \ dots) [/ math] converge si hay algún límite L tal que para cada número positivo [matemática] \ epsilon [/ matemática] existe un entero positivo N tal que si [matemática] n> N [/ matemática], entonces [matemática] | x_n-L | <\ epsilon [/ math], y escribimos [math] x_n \ rightarrow L [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty. [/ math] En otras palabras, una secuencia converge a un límite particular si se le da un pequeño margen de error, si va lo suficientemente lejos a lo largo de la secuencia, entonces cada término de la secuencia posterior está dentro de ese margen de error del límite. Dada una secuencia [matemática] (x_1, x_2, x_3, \ puntos) [/ matemática], se dice que la serie [matemática] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty x_n [/ matemática] converge si la secuencia de parcial sumas [matemáticas] (x_1, x_1 + x_2, x_1 + x_2 + x_3, \ dots) = (x_1, \ sum_ {n = 1} ^ 2 x_n, \ sum_ {n = 1} ^ 3 x_n, \ sum_ {n = 1} ^ 4 x_n, \ puntos) [/ math] es una secuencia convergente . Por lo general, solo hablamos de convergencia en términos de secuencias infinitas y series infinitas porque las secuencias y series finitas siempre convergen. Las series infinitas no tienen un último término en ellas.
Ahora que tenemos las definiciones claras, su pregunta fue sobre las condiciones necesarias para la convergencia de una secuencia o serie. Solo quiero dejar en claro que no preguntó sobre condiciones suficientes, porque si una condición es necesaria pero no suficiente, entonces cada secuencia convergente (o serie) satisfará esta condición, pero no puede probar que una secuencia converge utilizando una condición necesaria . El establecimiento de condiciones suficientes es para lo que sirven las pruebas de convergencia. Las condiciones necesarias pueden ser útiles para probar que una secuencia o serie no converge pero no se puede usar para demostrar que sí converge. Dichas declaraciones siempre pueden expresarse “si converge, entonces …” Dicho esto, hay algunas condiciones necesarias para la convergencia de secuencias y series.
Secuencias:
- ¿Cuántas veces aparece un dígito en particular si escribimos todos los números desde cero hasta el número de n dígitos más grande en la base b?
- Si cubre la tierra con billetes de un dólar (6.14 × 2.16 pulgadas) y luego los alinea, de extremo a extremo, ¿hasta dónde se extendería la línea (intente adivinar antes de calcular la respuesta)?
- Demostrar: [matemáticas] \ sqrt {\ dfrac {1 + sin \ theta} {1-sin \ theta}} = \ tan (45+ \ dfrac {\ theta} {2}) [/ matemáticas]?
- ¿Cómo se relacionan el sánscrito y las matemáticas?
- Si x + 100 = 12, ¿qué es x?
Si una secuencia converge, entonces es Cauchy. Lo que eso significa es que los términos de la secuencia se acercan cada vez más. La definición precisa es, para cada número positivo [math] \ epsilon [/ math] existe un entero positivo N tal que si nym son ambos mayores que N, entonces [math] | x_n-x_m | <\ epsilon. [ / matemáticas] En los números reales, ser Cauchy también es suficiente para la convergencia, sin embargo, esto no es cierto en todos los conjuntos, como los números racionales.
Si una secuencia converge, entonces cada subsecuencia converge al mismo límite. Una subsecuencia es donde elimina algunos términos de la secuencia original. Puede eliminar finitos o infinitos de ellos siempre y cuando todavía queden infinitos elementos restantes. Por ejemplo [math] (1, \ frac {1} {2}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {4}, \ dots) \ rightarrow 0 [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty. [/ math] Esto también es válido para cualquier subsecuencia como la siguiente: [math] (1, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {6}, \ frac {1} {10}, \ frac {1} {15}, \ puntos) \ rightarrow 0 [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty. [/ Math]
Si una secuencia converge, entonces está limitada. Esto significa que hay un par de números [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] de modo que todos los términos en la secuencia son mayores que [matemática] a [/ matemática], y también son todos menos de [matemáticas] b. [/ matemáticas]
Serie: Fuera de mi cabeza, en realidad solo hay una buena condición necesaria para la convergencia de una serie que se me ocurra, y creo que es la condición a la que hace referencia en su pregunta.
Si una serie [matemática] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty x_n [/ matemática] converge, entonces la secuencia [matemática] x_n [/ matemática] [matemática] \ rightarrow 0 [/ matemática] como [matemática] n \ rightarrow \ infty. [/ math] Eso significa que una suma infinita solo converge si los términos de la suma se acercan cada vez más a 0. Como señala la respuesta de Alain, esta no es una condición suficiente para la convergencia. Sin embargo, se puede usar para mostrar que una serie no converge. Considere la suma infinita [matemáticas] 1-1 + 1-1 + 1-1 +… = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (-1) ^ n. [/ Matemáticas] La secuencia [matemáticas] (1, -1,1, -1,1, \ puntos) [/ math] no se acerca a 0 como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math], por lo que la serie no converge.
