Para hacer el problema menos abstracto, comencemos con un ejemplo.
Suponga que [matemática] A = 11, B = 20 [/ matemática] y [matemática] n = 6 [/ matemática]
Entonces [matemáticas] A \ mod n = 11 \ mod 6 = 5, [/ matemáticas] y [matemáticas] B \ mod n = 20 \ mod 6 = 2 [/ matemáticas]
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Ahora, [matemáticas] (A + B) \ mod n = 31 \ mod 6 = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] (a + b) \ mod n = 7 \ mod 6 = 1 [/ matemáticas]
Entonces, parece que ambos son iguales . Pero, no se puede sacar una conclusión general basada en este ejemplo particular. Es solo para tener una idea del problema.
Ahora intentemos probarlo en general.
[matemáticas] a = n \ cdot x + A [/ matemáticas]
[matemáticas] b = n \ cdot y + B [/ matemáticas]
Donde [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son algunos enteros.
Al sumar las dos ecuaciones anteriores.
[matemáticas] a + b = (n \ cdot x + A) + (n \ cdot y + B) [/ math]
[matemáticas] a + b = n \ cdot (x + y) + (A + B) [/ matemáticas]
Ahora, si encontramos el resto cuando la ecuación anterior se divide por [math] n. [/ Math] (es decir, tomando [math] mod n [/ math] de la ecuación.
[matemáticas] (a + b) \ mod n = (n \ cdot (x + y) + (A + B)) \ mod n [/ matemáticas]
[matemáticas] (a + b) \ mod n = (n \ cdot (x + y)) \ mod n + (A + B) \ mod n [/ matemáticas]
Como [math] n \ cdot (x + y) [/ math] es un múltiplo de [math] n [/ math], por lo tanto [math] (n \ cdot (x + y)) \ mod n = 0. [ /matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] (a + b) \ mod n = (A + B) \ mod n [/ matemáticas]
