¿Cómo se puede describir la medida de Lebesgue en términos simples?

No técnicamente, la idea de “medida” es solo la idea de atribuir tamaños a varios conjuntos de tal manera que la combinación de conjuntos disjuntos hace que sus tamaños se sumen, y la medida de Lebesgue es la medida particular que cae fuera de la regla “Conjuntos don ‘ t cambiar el tamaño cuando los cambias en cierta cantidad en alguna dirección “.

Eso es lo suficientemente bueno para casi todos. Para la mayoría de las personas, no hay necesidad de leer más allá del final de este párrafo. Todos los demás detalles son técnicos, porque la medida específica de Lebesgue es un concepto técnico y, por lo tanto, solo puede entenderse en contraste con otras medidas técnicas.

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Pero para aquellos que se preocupan por detalles técnicos, la medida de Lebesgue ([matemática] n [/ matemática] -dimensional) es lo que obtienes de las siguientes reglas:

A) Hay un operador parcialmente definido [math] \ int [/ math] que asigna un valor en [math] \ mathbb {R} [/ math] a algunas funciones de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math]. Llamamos a estas funciones integrables, y llamamos al valor asignado su integral (total). Por la medida de un conjunto, nos referimos a la integral de la función que es [math] 1 [/ math] en ese conjunto y [math] 0 [/ math] en otro lugar.

B) Si una función integrable está en todas partes [math] \ geq 0 [/ math], entonces su integral también es [math] \ geq 0 [/ math].

C) El espacio de funciones integrables está cerrado bajo combinaciones lineales (finitarias), y [math] \ int [/ math] es un operador lineal. Además, si [math] f [/ math] es la suma de la secuencia contable de funciones [math] f_0, f_1, f_2,… [/ math], cada una en todas partes [math] \ geq 0 [/ math], entonces [ math] \ int f = \ int f_0 + \ int f_1 + \ int f_2 +… [/ math] (en la medida en que esto converja; de lo contrario, [math] f [/ math] no es integrable).

D) Si una función está en todas partes inferior y superior limitada por dos funciones con la misma integral entre sí, entonces la función intermedia es en sí misma integrable (con el siguiente resultado).

E) Traducir una función (es decir, precomponerla mediante una constante) no afecta su integral.

F) El cubo de la unidad [matemática] [0, 1) ^ n [/ matemática] tiene la medida 1.

Por la medida de Lebesgue (/ – integral) de un conjunto (/ función), nos referimos al valor fijado como su medida (/ integral) por las reglas anteriores, si hay una.

La medida de Lebesgue en general es un concepto más complicado que la “Medida de Lebesgue 0”, que tiene una explicación intuitiva inmediata.
Considere la función [matemáticas] f (3) = 1 [/ matemáticas]; para cualquier [matemática] x \ ne 3 [/ matemática], tome [matemática] f (x) = 0 [/ matemática]. Entonces la integral de [math] f [/ math] sobre cualquier conjunto debe ser igual a [math] 0 [/ math], independientemente de si el conjunto contiene el punto [math] 3 [/ math] o no.

Es bastante obvio que seguiría siendo insignificante si redefiniéramos [matemática] f (3) = 1 [/ matemática] y [matemática] f (4) = 1 [/ matemática], y así para cada número finito de puntos . Pero, ¿qué sucede si hay un número infinito de puntos irregulares?

La Medida 0 de Lebesgue es una caracterización necesaria y suficiente de conjuntos que tienen que ser “insignificantes” en ese sentido. Resulta que los conjuntos infinitos también pueden ser insignificantes. Ahora describiré la definición y un conjunto interesante de medida 0.

Un conjunto [math] A \ subseteq \ mathbb {R} [/ math] se llama “de la medida 0 de Lebesgue” cuando: para cualquier [math] \ epsilon> 0 [/ math] existe una colección de intervalos [math] C = [a_1, b_1], [a_2, b_2], \ ldots [/ math] con [math] a_1

Ahora considere los racionales [math] \ mathbb {Q} [/ math]. Alrededor de cada número racional [matemática] \ frac {p} {q} [/ matemática] (se permiten representaciones múltiples, por ejemplo, [matemática] 1/2 = 2/4 [/ matemática]), tomamos un margen [matemática] m_ { p, q} = \ frac {\ epsilon} {2 ^ {| p | + | q | +3}} [/ math]. Considere la siguiente colección de intervalos [matemática] C = \ left [\ frac {p_ {1}} {q_ {1}} – m_ {p_1, q_1}, \ frac {p_ {1}} {q_ {1}} + m_ {p_1, q_1} \ right], [/ math] [math] \ left [\ frac {p_ {2}} {q_ {2}} – m_ {p_2, q_2}, \ frac {p_ {2} } {q_ {2}} + m_ {p_2, q_2} \ right] [/ math], [math] \ ldots [/ math]

Luego, sumando todos los racionales, el área total será: [math] <\ sum_ {p \ in \ mathbb {N}, q \ in \ mathbb {N}} {2 \ cdot m_ {p, q}} [ /matemáticas]
Y ahora usando el doble de la identidad de la suma geométrica [matemáticas] \ sum_ {i \ in \ mathbb {N}} 2 ^ {- i} = 2 [/ matemáticas], tenemos:
[matemáticas] \ frac {2 \ cdot \ epsilon} {8} \ cdot \ sum_ {p \ in \ mathbb {N}} {\ frac {1} {2 ^ p} \ cdot \ sum_ {q \ in \ mathbb {N}} {\ frac {1} {2 ^ q}}} = \ epsilon [/ math]
Así que habíamos encontrado una colección apropiada [matemática] C [/ matemática], y así hemos demostrado que los fundamentos [matemática] \ mathbb {Q} [/ matemática] son ​​”de la medida 0 de Lebesgue”.

Es bastante fácil demostrar que si dos funciones integrables de Riemann difieren solo en un conjunto de puntos de la medida 0 de Lebesgue, entonces sus integrales de Riemann son iguales. Lo contrario es más sorprendente: una función es integrable de Riemann si y solo si el conjunto de sus puntos de discontinuidad es un conjunto de medida de Lebesgue 0. Las pruebas de ambas direcciones deberían aparecer en casi cualquier libro de cálculo de nivel universitario (para matemáticos); No puedo discutirlo aquí porque diferentes libros usan construcciones diferentes, aunque equivalentes, de la integral de Riemann.