¿Cuál es el valor máximo de [matemáticas] (ab + bc + cd) / (a ​​^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) [/ matemáticas]?

Primero, para reducir el número de variables relevantes, observe que si multiplicamos [matemática] a, b, c [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática] por un número, el valor de la expresión no cambia. Por esta razón, podemos suponer: [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 [/ matemáticas].

Usando la desigualdad de Cauchy-Schwartz podemos encontrar un límite superior para el valor de la expresión: [math] | \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} | \ le \ | \ mathbf {u} \ | \ | \ mathbf {v} \ | [/ math] con [math] \ mathbf {u} = (a, b, c) [/ math] y [math] \ mathbf {v} = (b, c, d ) [/ math], entonces tenemos: [math] (ab + bc + cd) \ le \ sqrt {(a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2)} \ sqrt {(b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2)} = \ sqrt {(1-d ^ 2) (1-a ^ 2)} \ le 1 [/ math]. Ahora, podemos encontrar directamente el valor máximo. Usando un cálculo directo:

1. Podemos buscar el valor máximo de la función [matemáticas] f (a, b, c, d) = ab + bc + cd [/ matemáticas] en la esfera [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 [/ matemáticas].
2. Usando el método multiplicador de Lagrange: [matemática] \ phi (a, b, c, d) = f (a, b, c, d) + \ lambda (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 – 1) [/ matemáticas]

Otra forma consiste en mirar directamente la función [matemáticas] f (a, b, c, d) = ab + bc + cd [/ matemáticas], debido a la simetría de la función [matemáticas] f (a, b, c , d) = f (d, c, b, a) [/ math] buscamos una solución con [math] a = d [/ math] y [math] b = c [/ math], esto simplifica el problema , de la siguiente manera:

[matemáticas] \ max _ {(a, b, c, d)} \ cfrac {ab + bc + cd} {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2} = \ max _ {(a, b )} \ cfrac {2ab + b ^ 2} {2 (a ^ 2 + b ^ 2)} [/ math]

Podemos simplificar aún más usando [math] \ lambda = a / b [/ math], y esto lleva a

[matemáticas] \ max _ {\ lambda} \ cfrac {2 \ lambda + 1} {2 (\ lambda ^ 2 + 1)} [/ matemáticas]

La solución para esta última expresión es [math] \ lambda = (\ sqrt {5} -1) / 2 [/ math] por lo que la solución sería: [math] c = b, a = d = (\ sqrt {5 } -1) b / 2 [/ math] para estos valores tenemos:

[matemáticas] \ izquierda | \ cfrac {ab + bc + cd} {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2} \ right | \ le \ cfrac {\ sqrt {5} +1} {4} \ aprox. 0,809 [/ matemáticas]

Pregunta: ¿Cuál es el valor máximo de [matemáticas] (\ frac {(ab + bc + cd)} {(a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2)} [/ matemáticas] ?

Respuesta: [matemáticas] \ infty [/ matemáticas]

establecer a = -d y b = c

la expresión se convierte en = [matemáticas] \ frac {(b ^ 2)} {2 (a ^ 2 + b ^ 2)} [/ matemáticas]

si la suma de [math] (a ^ 2 + b ^ 2) [/ math] se aproxima a cero, la expresión se aproxima a [math] \ pm \ infty [/ math]

a = i * (1- 0.1 ^ n)
b = 1
c = b
d = -a

A medida que n crece, también lo hace este resultado. el valor máximo es infinito