En un polinomio de grado n ¿por qué n no puede ser infinito?

Ciertamente puede hacerlo si no te interesan las funciones analíticas; puede hacerlo si lo haces.

Una serie de poder formal es una expresión de la forma [math] a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + \ cdots [/ math]. Se pueden agregar y multiplicar dos series de poder formales entre sí.

Un polinomio es una serie de potencia formal que posee un entero no negativo [matemática] N [/ matemática] tal que [matemática] a_n = 0 [/ matemática] para todos [matemática] n \ geq N [/ matemática].

Podemos generalizar la definición anterior para que los [math] a_i [/ ​​math] estén en algún anillo diferente de los números reales (que en realidad son un campo). Esto da como resultado el anillo de la serie de poder formal [math] \ mathcal {R} [[x]] [/ math], donde [math] \ mathcal {R} [/ math] es el anillo que estamos tomando el [math] a_i [/ ​​math] ‘s de. ¡De esta manera, puede producir series formales de poder de enteros, de matrices o, de hecho, de otras series formales de poder!
Entonces, los ‘polinomios de grado infinito’ se denominan series de poder formales, y existen. Y en realidad son súper geniales, especialmente en el contexto de generar funciones. Usando funciones generadoras, uno puede resolver problemas combinatorios que de otra manera serían realmente prohibitivos usando métodos estándar. Lea el excelente libro que genera la funcionalidad de Herbert Wilf para obtener más información (está disponible en línea de forma gratuita. Y sí, así es como se llama). Tiene varios ejemplos de cómo las series de poder formales son una herramienta algebraica increíblemente útil para resolver combinatoria problemas.

El hecho de que las series de potencia formales no siempre sean analíticas (es decir, sustituir un valor por [math] x [/ math] no siempre conduce a una serie convergente) podría considerarse una limitación, especialmente porque los polinomios no comparten este problema, ya que siempre son analíticos. Sin embargo, considerar las series de potencia como objetos puramente algebraicos sin la necesidad de sustituir valores de [math] x [/ math] con algún valor sigue siendo muy útil, como se mencionó anteriormente, por lo que esta no es una gran limitación, en realidad.

Respuesta corta: porque se definen de esta manera.

Sin ningún problema, se puede definir algo similar a los polinomios: series de potencia formales sobre, por ejemplo, un anillo conmutativo. En las series formales de potencia es fácil definir la suma, la multiplicación escalar y la multiplicación de forma natural. Uno puede probar teoremas interesantes sobre series de poder formales. Simplemente no son polinomios, porque los polinomios tienen por definición “un grado finito”,

Entonces, la pregunta más profunda es “¿por qué los polinomios se definen como son?”. La respuesta es la siguiente: Sea [matemática] R [/ matemática] un anillo conmutativo (con elemento de identidad) y sea [matemática] A [/ matemática] un álgebra [matemática] R [/ matemática]. Entonces existe un homomorfismo único [matemáticas] \ widetilde {\ enspace}: R [x] \ rightarrow (A \ rightarrow A) [/ math] de R-Algebras que satisface

• [matemáticas] \ widetilde {1_ {R [x]}} (a) = 1_A \ \ forall a \ en A [/ matemáticas],
• [matemáticas] \ widetilde {x} (a) = a \ \ forall a \ en A [/ math].

Reclamamos que tal propiedad no puede extenderse a series de poder formales en general. Denotemos el conjunto de series de poder formales sobre algunos (no triviales, es decir, tiene 2 o más elementos) Anillo conmutativo [matemática] R [/ matemática] con elemento de identidad con [matemática] R [[x]] [/ matemática] . Arregle el anillo y considere el trivial [matemáticas] R [/ matemáticas] -álgebra [matemáticas] A: = R [/ matemáticas]. Considere [math] f: = \ sum_ {i = 0} ^ \ infty x ^ i \ en R [[x]] [/ math]. ¿Qué es [matemáticas] \ tilde {f} (1) [/ matemáticas] entonces: [matemáticas] \ tilde {f} (1) = 1+ \ widetilde {(x \ cdot f)} ​​(1) = 1 + 1 \ cdot \ widetilde {f} (1) = 1 + \ widetilde {f} (1) [/ math]. (utilizando propiedades de homomorfismos de [matemáticas] R [/ matemáticas] -álgebras). Esto lleva a la contradicción [matemáticas] 0 = 1 [/ matemáticas].

Dado que la existencia de [math] \ widetilde {\ enspace} [/ math] es central para insertar valores (de nuestro [math] R [/ math] -Algebra [math] A [/ math]) en el polinomio y tenemos demostrado que tal [matemática] \ widetilde {\ enspace} [/ matemática] en general no existirá en [matemática] R [[x]] [/ matemática], hemos encontrado una razón por la cual los polinomios se definen como son.

Las series de Taylor son polinomios de orden infinito.

Pero de los polinomios, el límite finito se establece porque algunas de las propiedades requieren características que provienen de números finitos. Por ejemplo, no puede tener un conjunto finito cerrado a la multiplicación, que incluye 1/2.