Hay algunas cosas que quiero decir sobre esto, antes de entrar en las matemáticas reales.
En primer lugar, Saharon Shelah. De vez en cuando surge la pregunta sobre por qué los matemáticos están agotados o desperdiciados o no pueden hacer más trabajos originales una vez que tienen 30 o 35 años o lo que sea. He mencionado la producción increíblemente prolífica de Shelah en una respuesta a una de esas preguntas, y ahora puede agregar este punto de datos a su colección: el presente trabajo galardonado [1], escrito por Maryanthe Malliaris y Shelah, se publicó el año pasado , cuando tenía 71 años.
A continuación, el artículo de la revista Quanta. Respeto mucho a Quanta y sus continuos esfuerzos para llevar la investigación matemática actual a la atención de un público más amplio. Sin embargo, a veces caen en la trampa de simplificar demasiado las cosas o hacer que parezcan más sensacionales de lo que realmente son. Considere el titular “Los matemáticos miden infinitos y descubren que son iguales” (¿qué infinitos? ¿ Todos ellos?), O “quizás el descubrimiento matemático más contraintuitivo jamás realizado” (sobre la idea de diferentes tamaños de infinito), o “(Cantor ) demostró que dos conjuntos tienen el mismo tamaño … cuando se pueden poner en correspondencia uno a uno entre ellos “, lo cual es simplemente incorrecto (esta fue su definición increíblemente perspicaz, no algo que requiera pruebas).
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De todas formas. Tratemos de entender lo que probaron Malliaris y Shelah, y por qué es importante.
Tendremos que pensar en dos conjuntos infinitos. Uno es muy familiar: los números naturales.
[matemáticas] N = \ {0,1,2,3,4, \ ldots \} [/ matemáticas]
El otro es el conjunto [matemático] S = \ matemático {P} (N) = 2 ^ N [/ matemático] formado al considerar todos los posibles conjuntos de números naturales . Un conjunto de números naturales es solo eso: un grupo de números naturales (o, en otras palabras, un subconjunto de [matemáticas] N [/ matemáticas]). Algunos conjuntos de números naturales son:
- Los números pares [matemáticas] \ {0,2,4,6, \ ldots \} [/ matemáticas]
- Los números primos [matemáticas] \ {2,3,5,7,11,13, \ ldots \} [/ matemáticas]
- El conjunto de todos los números naturales mayores que googolplex
- El conjunto [matemáticas] \ {2,3,5,1729 \} [/ matemáticas]
- El conjunto vacío [math] \ emptyset [/ math]
- El conjunto de todos los números naturales ([matemáticas] N [/ matemáticas] en sí)
Cada uno de estos, y cualquier otro conjunto de números naturales, es un elemento de [matemáticas] S [/ matemáticas]. El conjunto [math] S [/ math] es, por lo tanto, un conjunto de conjuntos: [math] 7 [/ math] no es miembro de [math] S [/ math], sino [math] \ {7 \} [/ math] es, y también lo es [math] \ {7,11 \} [/ math], y [math] \ {1,2,4,8,16, \ ldots \} [/ math], y así sucesivamente . Puedes pensar en [matemáticas] S [/ matemáticas] como algo así como
[matemáticas] S = \ {\ conjunto vacío, \ {0 \}, \ {1 \}, \ ldots, \ {0,1 \}, \ {0,2 \}, \ ldots, \ {0,2, 4,6, \ ldots \}, \ ldots \} [/ math]
Esos “[matemáticas] \ ldots [/ matemáticas]” esconden muchas cosas. [Matemáticas] S [/ matemáticas] es un conjunto realmente grande . No solo es infinito, es mucho más grande que [matemáticas] N [/ matemáticas ]. No hay forma de hacer coincidir todos los números naturales (elementos de [matemáticas] N [/ matemáticas]) con todos los conjuntos de números naturales (elementos de [matemáticas] S [/ matemáticas]). Decimos que [matemáticas] N [/ math] es contable , mientras que [math] S [/ math] es incontable y, de hecho, tiene la “cardinalidad del continuo”, porque [math] S [/ math] puede combinarse con todos los números reales La notación estándar para esas “magnitudes”, o cardinalidades, es
[matemáticas] | N | = \ aleph_0 [/ math]
[matemáticas] | S | = 2 ^ {\ aleph_0} [/ math]
Ahora tenemos dos cardinalidades infinitas, y nos preguntamos si hay algo en el medio. ¿Hay algún conjunto [matemático] X [/ matemático] contenido en [matemático] S [/ matemático] que no se puede emparejar con [matemático] S [/ matemático] y no se puede emparejar con [matemático] N [/ matemático] ¿ya sea?
Esta es la famosa hipótesis del continuo [2], que quizás sepa que es “independiente”: no se puede probar ni refutar a partir de ninguno de los supuestos habituales que usamos para probar cosas sobre conjuntos (ZFC o más allá). Pero antes de que Paul Cohen descubriera (en 1963) que es independiente, se sintió como un problema muy simple y atractivo: ¿puedes encontrar una familia de conjuntos de números naturales que no sea contable ni compatible con todos [matemáticas] S [/ matemáticas] ?
Para calentar, veamos algunas formas de definir a esas familias y explorar su tamaño.
De ahora en adelante, cada vez que digo “conjunto”, me refiero a un conjunto de números naturales, y cada vez que digo “una familia de conjuntos”, me refiero a un conjunto de conjuntos de números naturales: uno o más conjuntos de números naturales, envueltos juntos como un conjunto A veces preferimos “familia” sobre “conjunto” para facilitar el seguimiento de los diferentes “niveles”: nuestros conjuntos tienen números naturales como elementos, mientras que nuestras familias tienen conjuntos de números naturales como elementos. Entonces [math] N [/ math] es un conjunto, mientras que [math] S [/ math] es una familia. Aquí hay algunos ejemplos más.
- Un conjunto finito: [matemáticas] \ {60, 168, 360, 504 \} [/ matemáticas].
- Un conjunto infinito: [matemáticas] \ {23,24,25,26, \ ldots \} [/ matemáticas]
- Una familia finita: [matemáticas] \ {\ {1,2,3 \}, \ {0, 1,2,3, \ ldots \}, \ {2,3,5,7,11,13,17, 23, \ ldots \} \} [/ math] (Esta familia tiene tres miembros: el conjunto [math] \ {1,2,3 \} [/ math], el conjunto de números naturales y el conjunto de primos) .
- Una familia infinita: [matemática] \ {\ {0 \}, \ {1 \}, \ {2 \}, \ {3 \}, \ {4 \}, \ ldots \} [/ math] (Esto es solo la familia de todos los conjuntos de un elemento, o singletons , de números naturales).
Imagine que tengo una familia de conjuntos, y cada dos conjuntos en mi familia son disjuntos : no tienen elementos en común. ¿Qué tan grande puede ser una familia así?
Ciertamente puede ser infinito. Por ejemplo, la familia de todos los singleton que acabamos de ver es un buen ejemplo: dos conjuntos de singleton no tienen nada en común. Este conjunto también es, claramente, contable: se puede combinar de manera muy fácil y natural con los números naturales. Por lo tanto, es infinito, pero no tan grande que supera [matemática] N [/ matemática].
¿Podemos de alguna manera idear una familia de conjuntos tan disjuntos que tenga más miembros, tantos que no se puedan combinar con [matemáticas] N [/ matemáticas]? La respuesta es No. Cualquiera de esas familias es contable (“contable” también permite “finito”). Es un buen ejercicio ver por qué.
Observe lo que hicimos aquí: no miramos una familia particular de conjuntos, y nos preguntamos si es de tamaño intermedio. En cambio, definimos una cierta propiedad de tales familias, la de tener miembros separados por pares, y luego preguntamos si tal vez la máxima de esas familias es incontable pero más pequeña que [math] 2 ^ {\ aleph_0} [/ math]. No funcionó: la familia más grande de este tipo es simplemente contable.
Aquí hay un desafío más interesante. Digamos que dos conjuntos son casi disjuntos si solo tienen muchos números en común (o ninguno en absoluto). El conjunto de números primos es casi disjunto del conjunto de números pares: tienen un número en común (¿quién?), Pero eso es todo. Además, el conjunto de números mayores de mil es casi disjunto del conjunto de números más pequeños que un billón. Hay muchos números que aparecen en ambos conjuntos, pero solo muchos.
Ahora, ¿qué tan grande puede ser una familia si dos conjuntos de la familia son casi disjuntos?
Una idea simple es considerar la familia de todos los conjuntos finitos. Esto parece una familia bastante grande, y, por supuesto, cualquiera de sus dos miembros son casi disjuntos: ¡ambos son finitos, por lo que ciertamente tienen una intersección finita! ¿Qué tan grande es esta familia? Por desgracia, una vez más es simplemente contable. Ese es un muy buen ejercicio. Hágalo (pista: piense en la expansión binaria de los números naturales e interprete cada expansión como un conjunto).
¿Podemos hacerlo mejor?
La respuesta es sí, podemos hacerlo mucho mejor. Hay una familia [matemática] C [/ matemática] de conjuntos donde dos conjuntos de [matemática] C [/ matemática] son casi disjuntos, y [matemática] C [/ matemática] es incontable. Desafortunadamente, esta familia [matemáticas] C [/ matemáticas] es de hecho tan grande que tiene la cardinalidad del continuo: ¡tiene tantos elementos como números reales! Entonces, una vez más, la familia más grande de conjuntos casi disjuntos no tiene una cardinalidad intermedia.
(Es un muy buen ejercicio encontrar un conjunto de [matemáticas] C [/ matemáticas]. Proporcionaré una gran pista al final de esta respuesta (muy larga).)
Finalmente, consideremos una propiedad más de las familias de conjuntos (lo prometo, es un calentamiento útil para las propiedades abordadas por Malliaris y Shelah). Este también es realmente agradable: ¿qué tan grande puede ser una familia de conjuntos, si cada vez que elijo dos conjuntos de la familia, uno está contenido en el otro? Tal familia se llama cadena o torre .
En lugar de considerar conjuntos disjuntos o casi disjuntos, ahora estamos haciendo casi exactamente lo contrario: queremos que nuestros conjuntos sean opuestos a disjuntos, ya que uno de ellos está totalmente contenido en el otro.
Por ejemplo, podemos considerar la siguiente familia: [matemáticas] \ {[/ matemáticas] todos los números naturales, todos los números naturales mayores que [matemáticas] 0 [/ matemáticas], todos los números naturales mayores que [matemáticas] 1 [ / math], todos los números naturales mayores que [math] 2 [/ math],… [math] \} [/ math]. Esta es una familia infinita de conjuntos y, claramente, si eliges dos de ellos, encontrarás que uno está contenido en el otro.
¿Qué tan grande es esta familia? Así es: es contable. ¿Podemos hacerlo mejor? Si podemos. Cuanto mejor Hay una torre [matemática] T [/ matemática] que tiene la cardinalidad del continuo. ¿Cómo encuentras uno? Es un ejercicio para ti. ¿Habrá una pista al final de la respuesta? Sí lo habrá.
En los días embriagadores entre que Cantor presentara la Hipótesis Continua y la magnífica prueba de independencia de Paul Cohen, la gente ideó todo tipo de familias elegantes como las que acabamos de ver, preguntando por las magnitudes (o cardinalidades ) de la familia más grande o más pequeña. Satisfacer esta o aquella propiedad.
Algunas veces esas cardinalidades resultaron ser [matemáticas] \ aleph_0 [/ matemáticas], a veces resultaron ser [matemáticas] 2 ^ {\ aleph_0} [/ matemáticas], y otras veces no pudieron saberlo (y la mayoría de las veces aún podemos ‘t). A veces podrían probar relaciones relativas entre ellos, como en “esta cardinalidad no es mayor que esa cardinalidad, aunque podrían ser iguales, quién sabe”. Esto condujo a diagramas como el siguiente:
Esto está tomado de un artículo [3] de Vaughan (“Pequeños cardenales incontables y topología”), que resume varias cardinalidades de un artículo de van Douwen. La razón por la que ve esto [math] \ aleph_1 [/ math] allí es que ya se sabe que todas esas cardinalidades son incontables, lo que significa que son más grandes que [math] \ aleph_0 [/ math], lo que significa que son al menos grande como [math] \ aleph_1 [/ math], el cardenal incontable más pequeño (que puede ser o no [math] 2 ^ {\ aleph_0} [/ math]).
En los embriagadores días posteriores a la invención de Paul Cohen de la técnica de forzar, la gente comenzó a hacer algo diferente: usar el forzar para mostrar que esas preguntas no tienen respuesta, en el sentido de que ciertos universos de conjuntos proporcionan una respuesta y otros universos proporcionan otra. Por ejemplo, el propio Shelah demostró [4] en 2004 que si [math] \ mathfrak {d} <\ mathfrak {a} [/ math] en este diagrama es independiente de ZFC.
Pero algunas de esas cardinalidades resistieron todos los esfuerzos por hacer lo siguiente: mostrar que deben ser iguales, mostrar que deben ser diferentes, mostrar que esas preguntas son independientes de ZFC, y así sucesivamente. Prácticamente no se sabía nada sobre muchas de esas cardinalidades, y aún no se sabe nada sobre la mayoría de ellas.
Malliaris y Shelah inesperadamente lograron resolver el puntaje de las cardinalidades [math] \ mathfrak {p} [/ math] y [math] \ mathfrak {t} [/ math] en el diagrama anterior, que ahora podemos (¡finalmente!) explique.
Anteriormente vimos familias de conjuntos casi disjuntos. Podemos ampliar esta idea “casi-” de otras maneras: por ejemplo, podemos decir que un conjunto [matemático] A [/ matemático] está “casi contenido” en un conjunto [matemático] B [/ matemático] si cada miembro de [matemáticas] A [/ matemáticas], excepto posiblemente por un número limitado de excepciones, es miembro de [matemáticas] B [/ matemáticas]. Por ejemplo, los números [matemáticas] 1,2,4,8,16, \ ldots [/ matemáticas] están casi contenidos en los números pares, y los números primos están casi contenidos en números relativamente primos a [matemáticas] 6 [/ matemáticas].
Una familia de conjuntos tiene un hilo si hay un conjunto infinito que está casi contenido en todos los miembros de la familia. Por ejemplo, tome el conjunto de primos como un hilo e imagine una familia de conjuntos donde cada conjunto contiene casi todos los primos (puede faltar muchos) y varios otros números. Tal familia tendrá los primos como un hilo. Una familia sin hilos que llamamos sin hilos.
Ahora considere las siguientes propiedades de familias infinitas:
- Propiedad [math] \ mathcal {P} [/ math]: la familia no tiene hilos, pero cada vez que tomas muchos conjuntos de la familia, esos conjuntos tienen una intersección infinita.
- Propiedad [math] \ mathcal {T} [/ math]: la familia no tiene hilos, y es una “casi torre”: cada vez que eliges dos conjuntos en la familia, uno de ellos está casi contenido en el otro.
Ahora pedimos el tamaño más pequeño posible de una familia con propiedad [math] \ mathcal {P} [/ math], y llamamos a esto cardinalidad mínima [math] \ mathfrak {p} [/ math]. De manera similar, la cardinalidad más pequeña posible de una familia con propiedades [math] \ mathcal {T} [/ math] tiene cardinality [math] \ mathfrak {t} [/ math]. Esos son los mismos [math] \ mathfrak {p} [/ math] y [math] \ mathfrak {t} [/ math] que aparecen en el diagrama de arriba.
Esas cardinalidades han existido por mucho tiempo. Como hemos discutido, la gente perdió la fe en que podemos establecer cualquier relación entre ellos, ya que muchas cosas en este campo resultan ser independientes de los axiomas estándar de las matemáticas, e incluso probar que esta independencia se hizo cada vez más difícil para el público. preguntas restantes En todo caso, muchas personas (incluida Shelah) esperaban que [mathframe \ mathfrak {p} <\ mathfrak {t} [/ math] (Es fácil ver que [math] \ mathfrak {p} \ leq \ mathfrak {t} [/ math], dado que una familia con propiedades [math] \ mathcal {T} [/ math] ciertamente tiene propiedades [math] \ mathcal {P} [/ math]).
Ya en 1934, Hausdorff demostró que [math] \ aleph_1 \ leq \ mathfrak {p} [/ math]. Esto significa que ninguna familia contable puede tener propiedades [math] \ mathcal {P} [/ math], por lo que la menor cardinalidad posible de dicha familia debe ser incontable. Rothberger logró demostrar en 1948 que si efectivamente [math] \ aleph_1 = \ mathfrak {p} [/ math] entonces [math] \ mathfrak {p} = \ mathfrak {t} [/ math]. Pero no sucedió nada sustancialmente nuevo después, durante casi 70 años, hasta que Malliaris y Shelah probaron que [math] \ mathfrak {p} = \ mathfrak {t} [/ math] incondicionalmente, independientemente de cualquier suposición de cuál podría ser su valor, y independientemente de cualquier problema axiomático fundamental. Esas cardinalidades son simplemente las mismas.
Me temo que decir algo significativo sobre la prueba está más allá de mis habilidades en una respuesta de Quora, y esta ya es lo suficientemente larga. Es un resultado bastante moderno, que descansa sobre una cantidad significativa de fundamentos teóricos modelo.
Casi se me olvida: pistas.
SPOILERS ABAJO !!!
Estábamos buscando familias grandes de conjuntos de números naturales, uno cuyos miembros estén casi separados entre sí ([matemática] C [/ matemática]), y uno cuyos miembros estén contenidos entre sí ([matemática] T [/ matemática] ) Para encontrarlos, piense en números racionales en lugar de números naturales, recordando que los números racionales se pueden combinar con los naturales, por lo que resolver este problema para familias de números racionales es lo mismo que resolverlo para familias de números naturales. Ahora, considere varias formas de definir los números reales.
Notas al pie
[1] [1208.5424] Teoremas del espectro de cofinalidad en teoría de modelos, teoría de conjuntos y topología general
[2] Hipótesis continua – Wikipedia
[3] https: //pdfs.semanticscholar.org…
[4] Dos invariantes cardinales del continuo (∂