¿Cuánto se basan las matemáticas aplicadas en las matemáticas puras?

Esta realmente no es una pregunta bien planteada. Incluso la definición de Wikipedia de matemática aplicada y pura enfatiza que no se trata de una dicotomía, ya que muchas matemáticas puras son útiles en las aplicaciones. La matemática aplicada es un caso especial de matemática donde la aplicación de las matemáticas está impulsando el desarrollo o la enseñanza de la asignatura. Matemática pura: un caso especial de matemática donde se enfoca la abstracción de ideas a las estructuras matemáticas puras. No deberías pensar en temas de matemáticas que caen en estos dos campos separados, sino que debes pensar en la enseñanza y el uso de las matemáticas que caen en estos dos campos [*].

Pero la respuesta a la pregunta específica es que toda la matemática aplicada tiene una matemática “pura” subyacente. La matemática pura es la abstracción de los métodos matemáticos aplicados en las estructuras matemáticas subyacentes.

Como ejemplo, la física teórica ha impulsado con frecuencia el progreso en lo que típicamente se llamaría matemática “pura” y viceversa. Definitivamente, hay matemáticas de vanguardia cuyas aplicaciones no se conocen, pero eso es cierto en la mayoría de las investigaciones. La mayoría de las matemáticas desarrolladas antes de 1900 tienen aplicaciones, de hecho, la mayoría de las cosas que consideramos útiles se considerarían matemáticas puras y las matemáticas aplicadas con frecuencia fueron efímeras. Casi todo lo que se encuentra en un plan de estudios de matemáticas de pregrado estándar tiene aplicaciones significativas, incluida la teoría de conjuntos, la teoría de números, el álgebra abstracta, el análisis real y el análisis complejo. (Las matemáticas necesarias para la física de pregrado son solo los primeros 2 años más o menos de un plan de estudios de matemáticas).

[*] Personalmente, encuentro que los extremos lógicos de las matemáticas puras y aplicadas son un poco tontos. Saber cómo se pueden aplicar las matemáticas enriquece las matemáticas puras y comprender las estructuras matemáticas subyacentes ayuda a generalizar los usos de las matemáticas aplicadas.

Como no estoy seguro de cómo se refiere exactamente a caracterizar “matemática aplicada” y “matemática pura” pero (probablemente) entienda su pregunta, propongo usar la caracterización de la diferencia de Hardy (la matemática aplicada busca expresar la verdad física en un marco matemático, mientras que la matemática pura expresa verdades independientes del mundo físico) como una mejor para la pregunta en cuestión.

En este sentido, dado que el marco matemático subyacente (que es independiente del mundo físico) cae bajo el dominio de las matemáticas puras, se podría decir que los avances en las matemáticas aplicadas dependen en última instancia de los avances que se hicieron en las matemáticas puras en algún momento (al evolucionar en ese marco): la validación de las herramientas y técnicas matemáticas utilizadas en las matemáticas aplicadas proviene de las matemáticas puras.

Sin embargo, lo siguiente debe tenerse en cuenta al responder su pregunta.

  1. Ha habido innumerables incidentes donde la consideración de problemas en el mundo físico ha motivado el desarrollo de nuevas matemáticas puras (teoría de la probabilidad, transporte óptimo). De hecho, incluso ha habido casos en los que una consideración de los problemas del mundo físico (teoría de cuerdas) ha revivido el interés en una disciplina matemática pura casi moribunda (geometría algebraica, por lo que me han dicho …). Si bien las matemáticas aplicadas ciertamente han contribuido enormemente a las matemáticas puras de esta manera, lo hacen a través de preguntas e ideas adicionales. La dependencia, aunque muy valiosa, no es fundamental, como en el caso inverso. Eso no quiere decir que las personas que consideran preguntas del mundo real no hayan contribuido significativamente a las matemáticas puras: Ed Witten es un ejemplo reciente de alguien que sí lo ha hecho.
  2. Dada la cantidad existente de marco matemático puro, ciertamente es posible avanzar en matemáticas aplicadas. Para abordar directamente su ejemplo, las nuevas fórmulas “físicas” pueden formularse únicamente a partir de nuevas ideas, sin que haya habido ningún avance matemático relevante en el período intermedio. Me vienen a la mente los muchos modelos clásicos del átomo.

Sin embargo, Jay Wacker podría ser una mejor persona para responder esta pregunta.

Todas las matemáticas son puras hasta que las aplique. La distinción es falsa.

En 1800 más o menos, Alemania decidió concentrarse en matemáticas puras (como un área, no estaba unificada). Esto condujo a una explosión de todo tipo de ciencia y tecnología.

Los franceses se concentraron en las matemáticas aplicadas (básicamente probabilidad) y lograron muy poco.
http://library.thinkquest.org/22

Pure Mathematics es mucho más importante porque nunca se sabe lo que aparecerá

Alguien me dijo una vez que para ser un excelente matemático aplicado primero tendría que ser un matemático puro y luego conectar sus conocimientos y habilidades con su entorno. Parecía plausible.