El teorema de la gran ortogonalidad es un resultado fundamental en la teoría de la representación grupal. Se puede describir a cualquiera de los grupos y matrices familiares.
Deje que [math] G [/ math] sea un grupo finito con elementos [math] n [/ math]. Cada grupo finito tiene un conjunto asociado de “representaciones irreducibles”. Una representación irreducible es simplemente una función que asigna una matriz (unitaria) a cada elemento del grupo. (Naturalmente, hay más detalles: las funciones deben ser homomorfismos de grupo, etc.)
Por ejemplo, el grupo [matemáticas] D4 [/ matemáticas] (es decir, las simetrías [matemáticas] n = 8 [/ matemáticas] de un cuadrado) tiene 5 representaciones irreducibles. Cuatro de estas representaciones asignan matrices 1 por 1 (es decir, escalares) a cada uno de los 8 elementos de [math] D4 [/ math]. Esto incluye la representación trivial, que asigna 1 a cada elemento del grupo: podríamos considerarlo como el vector dimensional [matemático] n [/ matemático] (1,1,1,1,1,1,1,1). Otro asigna 1 a cuatro elementos y -1 a los otros cuatro (los elementos “invertidos”): esto podría escribirse como el vector (1,1,1,1, -1, -1, -1, -1). La quinta representación asigna matrices de 2 por 2 a cada elemento de [math] D4 [/ math]. Podemos hacer cuatro vectores más [math] n [/ math] -d a partir de estos. Tomar los elementos (1,1) de las 8 matrices produce el vector (1,0, -1,0,0,1,0, -1); todos los elementos (1,2) forman otro vector, etc. En total obtenemos vectores [math] n [/ math] [math] n [/ math] -d de esta manera.
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El teorema de la gran ortogonalidad establece que los vectores [math] n [/ math] así obtenidos son ortogonales, para cualquier grupo finito de orden [math] n [/ math]. Es decir, el producto de punto (complejo) de cualquiera de los dos vectores distintos es 0. También dice que el producto de punto de cualquier vector consigo mismo es [math] n [/ math] sobre el orden de la representación. Por ejemplo, 8/1 = 8 para (1,1,1,1,1,1,1,1) y 8/2 = 4 para (1,0, -1,0,0,1,0, – 1)
