Si [matemáticas] 3 ^ x + 4 ^ x = 5 ^ x [/ matemáticas], entonces ¿qué es [matemáticas] x [/ matemáticas]?

Encontrar una solución de [matemáticas] 3 ^ x + 4 ^ x = 5 ^ x [/ matemáticas] es equivalente a encontrar una solución de [matemáticas] (\ frac {3} {5}) ^ x [/ matemáticas] [matemáticas ] + (\ frac {4} {5}) ^ x – 1 = 0 [/ matemáticas]

Ahora, considere la función [matemáticas] f (x) = (\ frac {3} {5}) ^ x + (\ frac {4} {5}) ^ x – 1 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow f ‘(x) = (\ frac {3} {5}) ^ x [/ math] [math] ln (\ frac {3} {5}) + (\ frac {4} {5 }) ^ x [/ math] [math] ln (\ frac {4} {5}) [/ math]

Ahora, [matemáticas] ln x [/ matemáticas] es una función estrictamente creciente de [matemáticas] x. [/ Matemáticas] Y [matemáticas] ln [/ matemáticas] [matemáticas] 1 = 0. [/ Matemáticas]

Entonces [math] ln x [/ math] es negativo cuando [math] x <1. [/ Math]

Es decir, [matemáticas] ln (\ frac {3} {5}) [/ matemáticas] y [matemáticas] ln (\ frac {4} {5}) [/ matemáticas] son ​​negativas.

Esto hace que [math] f ‘(x) <0 [/ math] para todos [math] x [/ math]. Es decir, [matemática] f (x) [/ matemática] es una función estrictamente decreciente de [matemática] x. [/ Matemática] Entonces, solo hay una solución de [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] si en absoluto existe.

Encontramos que [matemáticas] f (2) = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] es la única solución a su ecuación original.

Resolveré esto usando el último teorema de FERMAT.

En teoría de números, el último teorema de Fermat establece que “No hay tres enteros positivos a, byc que satisfagan la ecuación a ^ n + b ^ n = c ^ n para cualquier valor entero de n mayor que 2 . “

Ahora considerando la solución para números naturales, es decir, 1, 2, 3,. . . .

Para n = 1 , esta ecuación no es verdadera ya que 2 no es igual a 1

Para n = 2 , esta ecuación es verdadera. Como

3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 9 + 16 = 25 = 5 ^ 2

Como esto no puede ser cierto para cualquier otro valor de n mayor que 2.

Por lo tanto, x = 2 es la única solución.

PD:

a) 3, 4 y 5 son trillizos pitagóricos (satisfacen el teorema de Pitágoras). Por lo tanto, 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2.

b) El último teorema de Fermat ha desconcertado a muchos matemáticos durante siglos. Fue hasta que Andrew Wiles en 1993–1994 presentó una enorme prueba de 150 páginas del último teorema de Fermat.

Le dieron el Premio Fermat en el año 1995 y también el Premio Abel en 2016.

El último teorema de Fermat

No hay tres enteros positivos a , byc que satisfagan la ecuación a ^ x + b ^ x = c ^ x para cualquier valor entero de x mayor que 2.

Gracias a Andrew Wiles este teorema ha sido probado. ¡Yay! Podemos resolver su problema con facilidad.

si x = 1: 3 + 4 no es igual a 5

si x = 2: [matemática] 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2 [/ matemática]

Así encontramos nuestra solución como x = 2

Es interesante notar que 3,4,5 satisfacen el Teorema de Pitágoras. De hecho, estos trillizos se denominan triples pitagóricos, es decir, soluciones enteras al Teorema de Pitágoras, [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemática]. En otras palabras, forman lados de un triángulo en ángulo recto.

Lista de algunos triples pitagóricos

Observaciones interesantes:

• Cada número impar es el lado de un trío pitagórico.
• El lado b de un triplete pitagórico es simplemente ( [matemáticas] a ^ 2 [/ matemáticas] – 1) / 2 .
• El lado c es b + 1
• ayc son siempre impares; b es siempre par

Preguntas complementarias:

Q1. ¿Puede x tener soluciones no enteras?

Q2 ¿Son los triples pitagóricos infinitos?

[comenta abajo]

La mejor manera de resolver esto es ejecutar un rastro de LHS versus RHS

.X. LHS ……… RHS

1 7 ========== 5. No

2 25 ========= 25 Sí

3 75 ======== 125 No

El RHS sube más rápido que el LHS, por lo que solo hay una solución ax = 2

Miguel

Puedes usar algo de lógica y método hot y trail

Al poner x = 1

[matemáticas] 3 + 4 ≠ 5 [/ matemáticas]

Poniendo x = 2

[matemáticas] (3) ^ 2 + (4) ^ 2 = (5) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 9 + 16 = 25 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la respuesta es x = 2

Sin saber que la respuesta es 2, este es realmente un problema bastante difícil, si [math] x [/ math] puede ser cualquier número real. Si [math] x [/ math] tiene que ser un número natural [math] (0,1,2, \ dots) [/ math], entonces esto es mucho más fácil.

Comienza dividiendo ambos lados entre [matemática] 5 ^ x [/ matemática], de modo que tu ecuación se convierta en [matemática] (3/5) ^ x + (4/5) ^ x = 1 [/ matemática]. En general, si [math] f (x) = a ^ x + b ^ x [/ math], con [math] 0 como máximo una solución. Entonces, dado que [matemática] a

Si [math] x [/ math] puede ser cualquier número real, entonces esto es todo lo que sabemos. Podemos usar el método de Newton y otras herramientas computacionales para aproximar la solución, pero aparte de eso, las herramientas analíticas estándar no pueden llevarnos mucho más lejos. Sin embargo, si sabemos que [matemáticas] x [/ matemáticas] debe ser un número natural, entonces es obvio que [matemáticas] x ^ * [/ matemáticas] debe ser el único número natural entre [matemáticas] 1.35 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2.41 [/ matemáticas], que es [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

La suma del dígito de las unidades de 3 ^ x y 4 ^ x para cualquier número entero x solo será igual al dígito de las unidades de 5 ^ x para x = 2,6,10,14,18…. Dado que el segundo número más pequeño que podría ser x es mayor que 5. x debe ser 2 (si es un número entero y hay una solución)

trazando una gráfica de y = 5 ^ x (verde) e y = 3 ^ x + 4 ^ x solo puede ver una solución

5 ^ x> 3 ^ x + 4 ^ x para x> 2

Aquí x no puede ser mayor que 2 según el último teorema de Fermat, por lo que solo quedan dos opciones que son 1 y 2, que puede verificar manualmente, por lo que la respuesta es x = 2 en este caso

x sería igual a 2. Porque según el último teorema de Fermat,

a ^ n + b ^ n no es igual a c ^ n para cualquier n mayor que 2.

Entonces 2 es la única solución.

Solo por cálculos de “globo ocular”, sin siquiera lápiz y papel, obtengo x = 2 como respuesta. Pero ese resultado proviene de una gran experiencia en empujar los números.

2 es como forma el triplete del triángulo rectángulo

No existe un procedimiento analítico conocido para esto. Dibuja las gráficas de y = 3 ^ x + 4 ^ x e y = 5 ^ x y encuentra el punto de intersección.

x = 2

porque el teorema de Pitágoras