Puede mirar su modelo actual y hacer deducciones lógicas hasta llegar a un conjunto completo de nuevas leyes interesantes, momento en el que debe absolutamente pruebe sus leyes al ver si lo que predicen es cierto en la naturaleza. Así es como puedes derivar nuevas teorías solo mirando las matemáticas. Así es en gran medida cómo se hace la física teórica ahora, y hasta cierto punto cómo se ha hecho la física desde Lagrange.
¿Por qué necesitamos probar nuestra nueva teoría a pesar de que simplemente se deriva de conclusiones lógicas? Porque la teoría original no era realmente correcta para empezar. Las teorías de la física nunca son exactamente correctas, pero son sucesivamente mejores aproximaciones al mundo real. Entonces, si nuestra teoría original estaba apagada en algún grado pequeño, entonces la teoría de la que hemos derivado puede estar apagada en un grado mayor, tal vez incluso hasta el punto de que ya no sea una aproximación viable. Como tal, necesitamos probar físicamente la nueva teoría para ver si es “suficientemente buena”.
Entonces, sí, puede derivar nuevas teorías ‘mirando solo las matemáticas’, pero existe una gran posibilidad de que no sea satisfactoriamente precisa. Sin embargo, incluso a pesar de este margen de error potencialmente grande, no tenemos una mejor alternativa ahora, cuando los experimentos son grandes y difíciles y costosos. Tenemos que hacer conjeturas educadas lo mejor que podamos usando las matemáticas y nuestras conjeturas anteriores, y esperamos que los experimentos las verifiquen.
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Editar: la pregunta se ha editado y ahora también pide ejemplos. El ejemplo más obvio que se me ocurre es la teoría de cuerdas, que está sólidamente arraigada en las matemáticas al menos tanto como en la física. Aparte de eso, supongo que la relatividad general también califica (en menor medida), porque gran parte del trabajo teórico de Einstein se realizó antes de la verificación completa y sólida de la teoría. Como mencioné, esta ha sido la principal forma de hacer las cosas desde que Lagrange, Euler y otros resumieron el estudio de la física e hicieron de las matemáticas un componente clave.