Para que una relación sea reflexiva, todos los elementos del conjunto en el que se define la relación deben estar relacionados entre sí. Pero aquí tenemos R como un conjunto vacío. Por lo tanto, no es reflexivo (no tiene los pares ordenados (1,1), (2,2) y (3,3)).
Ahora, la condición para que una relación sea simétrica es: si (a, b) pertenece a R, entonces (b, a) debería pertenecer a R. Como puede ver, es una declaración condicional. Si R tiene algún par ordenado, por ejemplo (1,2), entonces (2,1) debe estar allí en R para que sea reflexivo. Como no tiene ningún par ordenado, es simétrico (dado que la regla para que una relación sea simétrica es condicional, si la primera condición que es (a, b) pertenece a R satisface, entonces la segunda condición que es (b, a ) pertenece a R también debe satisfacer).
Ahora la regla para que una relación sea transitiva también es condicional: si (a, b) y (b, c) pertenecen a R, entonces (a, c) debe estar allí en R. De manera similar a como se discutió anteriormente para la relación simétrica , R es transitivo.
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Entonces, una relación vacía en un conjunto no vacío es simétrica y transitiva pero no reflexiva.
Y una relación vacía en un conjunto vacío es reflexiva, simétrica y transitiva.
