¿Podemos dividir un vector por un vector y por qué?

Bueno … puede ser. El problema es que un espacio vectorial arbitrario no viene naturalmente con la multiplicación.

Siempre puede definir la multiplicación de la manera ingenua, por componentes, por ejemplo:

[matemática] (x_1, x_2, x_3) (y_1, y_2, y_3) = (x_1 y_1, x_2 y_2, x_3 y_3) [/ matemática].

El problema es que con esta noción de multiplicación, dos vectores distintos de cero pueden multiplicarse a cero, por ejemplo:

[matemáticas] (1,0,0) (0,1,0) = (0,0,0) [/ matemáticas].

Como resultado, no puede definir la división; si intenta hacerlo, obtendrá contradicciones obvias. (En el ejemplo anterior, divida ambos lados entre [matemática] (0,1,0) [/ matemática]: obtendrá [matemática] (1,0,0) = (0,0,0) [/ matemática]. )

Por lo tanto, debe proponer una noción diferente de multiplicación que evite tales problemas. Esto resulta ser bastante difícil.

Es posible, por ejemplo, los números complejos (que puede pensar como vectores reales con dos coordenadas), pero en general, no debe esperar que exista tal multiplicación. Escribí más sobre esto aquí: ¿Qué impide la extensión de números complejos al espacio euclidiano tridimensional?

No.

La definición de un espacio vectorial nos permite sumar dos vectores, restar dos vectores y multiplicar un vector por un escalar.

Además, en algunos espacios vectoriales, podemos tener diferentes tipos de multiplicación de vectores. Por ejemplo, los espacios vectoriales sobre los números reales pueden tener un producto Dot, que multiplica dos vectores para obtener un número real. Además, algunos otros espacios vectoriales, como [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] (que es solo el espacio vectorial tridimensional utilizado en física), pueden tener un producto Cross, que multiplica dos vectores y produce otro vector. Otros espacios vectoriales pueden tener otros tipos de multiplicación como el producto Exterior y otras cosas extravagantes.

Sin embargo, ninguno de estos tipos de multiplicación te permite dividir. Cuando decimos “división”, realmente queremos decir la operación inversa de la multiplicación, de modo que [matemática] \ frac {a} {b} = c [/ matemática] solo significa que [matemática] c [/ matemática] es el único número con la propiedad [math] b \ cdot c = a [/ math]. Ninguno de los productos vectoriales que mencioné anteriormente puede tener una división definida debido a la cuestión de la unicidad. Por ejemplo, si tratamos de usar el producto cruzado para definir la división vectorial, nos encontramos con el problema de que

[matemáticas] (1,0,0) \ veces (0,1,0) = (0,0,1) [/ matemáticas] y
[matemáticas] (1,0,0) \ veces (1, 1,0) = (0,0,1) [/ matemáticas]

Debido a esto, no podemos definir de forma exclusiva la cantidad [math] \ frac {(0,0,1)} {(1,0,0)} [/ math]. Nos encontramos con el mismo tipo de problema si intentamos usar otros tipos de productos vectoriales.

NO. Absolutamente no.

Los vectores son cantidades con magnitudes y dirección. Dividir el vector por otro vector significa que está dividiendo una dirección por otra dirección, como si dividiera el norte por el sur. ¿Tiene algún sentido?

No. Pero sí, su problema es lógico porque generalmente diferimos la división como multicación inversa, es decir, si

[matemáticas] c = a / b [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] b * c = a [/ matemáticas]

Pero ese es el caso de los escalares donde solo está involucrada la magnitud. En el caso de los vectores es un poco más complejo. Tenemos productos tanto de punto como cruzados que dan resultados diferentes. Dividir un vector por la magnitud de un vector tiene sentido, pero un vector por vector definitivamente no.

‘No es posible’ porque no tenemos una idea de lo que significaría.

Nada te impide definir cómo funcionaría. Por ejemplo, puede definir:
[matemáticas] \ frac { x } { y } = (\ frac {x_1} {y_1}, \ frac {x_2} {y_2}, \ frac {x_3} {y_3}, \ frac {x_4} {y_4}, \ puntos) [/ matemáticas]
Sin embargo, la forma en que escribe los vectores depende de la forma en que elija su sistema de coordenadas. Siempre es posible elegir un sistema de coordenadas de tal manera que [math] y_i = 0 [/ math] para algunos [math] i [/ math]. Así que siempre puedo tomar mi coordenada de tal manera que esta división se vuelva indefinida.

Y eso apunta inmediatamente a lo siguiente: dado que la apariencia de los vectores depende del sistema de coordenadas que elija, estamos más interesados ​​en las cantidades que no dependen de este sistema de coordenadas. El producto interno, por ejemplo, no cambia si cambia su sistema de coordenadas.

Sin embargo, siempre puedo cambiar mi sistema de coordenadas de tal manera que todos los componentes (excepto uno) sean cero. Entonces, si dividiera por todos los elementos individualmente, obtendría una respuesta indefinida. Entonces, lo único posible es dividir por algún tipo de suma de todos los elementos individuales (los productos obviamente no funcionan si algunos elementos son cero). Sin embargo, tal cosa ya no sería un vector, sería un escalar.

Entonces, en general, simplemente no hay un significado para dar a la división por un vector. Además, hasta ahora hemos estado lejos sin él, por lo que no parece haber una razón para tenerlo (en caso de que exista).

Bueno, es un claro NO!

Porque Vector trata con la magnitud y la dirección.

Si dijiste que dividiste un vector por otro vector, ¿qué querías decir con él? ¿Puedes realmente dividir el norte por el este? ¿O al sur por el noroeste? Esto no tiene sentido.!

Lo que puede hacer es dividir la magnitud de un vector por la magnitud de otro vector .

Espero que te hayas despejado 🙂

Sea V un espacio vectorial sobre un campo de campo K, y sea N un subespacio lineal de V.
Defina una relación de equivalencia [matemática] \ sim [/ matemática] en V indicando que [matemática] x \ sim y [/ matemática] si [matemática] x -y \ en N [/ matemática].
es decir, x está relacionado con y si se puede obtener uno del otro agregando un elemento de N.
A partir de esta definición, se puede deducir que cualquier elemento de N está relacionado con el vector cero; más precisamente, todos los vectores en N se asignan a la clase de equivalencia del vector cero.

La clase de equivalencia de x a menudo se denota
[matemáticas] [x] = x + N [/ matemáticas]
ya que es dado por
[matemáticas] [x] = {x + n: n \ en N}. [/ matemáticas]

El espacio del cociente V / N se define entonces como V / ~, el conjunto de todas las clases de equivalencia sobre V por [math] \ sim [/ math]. La multiplicación escalar y la suma se definen en las clases de equivalencia por
[math] \ alpha [x] = [\ alpha x] \ forall \ alpha \ en K, [/ math] y
[matemáticas] [x] + [y] = [x + y] [/ matemáticas].
No es difícil verificar que estas operaciones están bien definidas (es decir, no dependen de la elección del representante).
Estas operaciones convierten el espacio cociente V / N en un espacio vectorial sobre K con N siendo la clase cero, [0].

Es posible.

La multiplicación escalar de un vector es posible, simplemente multiplique los componentes del vector por el valor escalar. Esto simplemente escala el vector uniformemente.

La multiplicación por el recíproco (1 / escalar) es posible. Esta es una forma de división.

La multiplicación componente por componente es posible. Esta es una escala no uniforme del vector.

La multiplicación por un vector que consiste en recíprocos es posible. Esta es otra forma de división.

Son posibles las inversiones para diversas operaciones de vectores, algunas de las cuales podrían considerarse divisiones.

Al igual que con todo, depende de lo que intente lograr con la operación y de cómo interpretará la salida.

No

Para cualquier entidad, vectores o escalares, solo hay algunas operaciones (y una composición de ellas) que son posibles. La división no es una operación válida para los vectores porque no siempre se puede obtener un vector único que, cuando se multiplica al divisor de acuerdo con las reglas del producto vectorial, le dará el dividendo.

De hecho, no hay producto cruzado en 4D, si tal se define como “un producto bilineal entre dos vectores con un resultado vectorial”. Se ha demostrado matemáticamente que tales productos solo existen en 3 y 7 dimensiones

La respuesta de Josel Cioppa te da el formalismo matemático detrás de esto. Un ejemplo donde la multiplicación es conmutativa e invertible es el caso de números complejos. Si usted tiene

[math] \ mathbf {z_1} = (a, b) [/ math]

[matemáticas] \ mathbf {z_2} = (c, d) [/ matemáticas]

Entonces tiene

[math] \ mathbf {z_1}. \ mathbf {z_2} = (ac – bd, ad + bc) [/ math]

Lo que puedes demostrar fácilmente es conmutativo. Además, cada vector distinto de cero en el plano complejo es invertible. Tenga en cuenta que esto también implica que [math] \ mathbf {I} = (1, 0) [/ math] es el elemento de identidad ya que

[math] \ mathbf {z_1}. \ mathbf {I} = (a, b) [/ math]

Definimos el inverso multiplicativo [math] \ mathbf {z_1 ^ {- 1}} [/ math] de [math] \ mathbf {z_1} [/ math] como la solución para:

[math] \ mathbf {z_1}. \ mathbf {z_1 ^ {- 1}} = \ mathbf {I} [/ math]

Se puede ver que la siguiente es una definición válida para [math] \ mathbf {z_1 ^ {- 1}} [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ mathbf {z_1 ^ {- 1}} = \ left (\ frac {a} {a ^ 2 + b ^ 2}, – \ frac {b} {a ^ 2 + b ^ 2} \ derecha) [/ matemáticas]

Esto se puede verificar haciendo la multiplicación. Para demostrar la unicidad de [math] \ mathbf {z_1 ^ {- 1}} [/ math], suponga que hay dos vectores complejos distintos [math] \ mathbf {v_1} [/ math] y [math] \ mathbf { v_2} [/ math] que funcionan para [math] \ mathbf {z_1 ^ {- 1}} [/ math].

Luego,

[math] \ mathbf {z_1}. (\ mathbf {v_1} – \ mathbf {v_2}) = \ mathbf {0} \ implica \ mathbf {v_1} = \ mathbf {v_2} [/ math]

Concluimos que en el plano complejo, el inverso multiplicativo de un número complejo distinto de cero es único.

Entre otras cosas, tenga en cuenta que definir números complejos de esta manera también es consistente con [math] (0, 1). (0, 1) = (-1,0) [/ math]. Además, [matemáticas] (a, 0). (A, 0) = (a ^ 2, 0) [/ matemáticas].

¡Buena pregunta! En general, un espacio vectorial solo admite la suma y la multiplicación escalar, por lo que la respuesta sería no.

Dicho esto, sus otras estructuras algebraicas en las que la división tiene sentido. Para dividir, primero debe poder multiplicar, por lo que su espacio vectorial también debería ser un álgebra. Además, generalmente no puede escribir algo como [math] \ dfrac {m} {n} [/ math] porque dividir por n es multiplicar realmente por el inverso de n, [math] n ^ {- 1}. [/ math] A menos que [math] m [/ math] y [math] n ^ {- 1} [/ math] viaje, [math] mn ^ {- 1} \ neq n ^ {- 1} m. [/ matemáticas] Es decir, tienes una noción de división izquierda y derecha por elementos invertibles de un álgebra, y los dos pueden dar resultados diferentes. Si su álgebra es conmutativa, siempre puede dividir por m siempre que m sea invertible.

Para un espacio vectorial general, sin otra estructura, la respuesta es no. Como Yuval y Shanay señalaron, en el nivel base todo lo que puedes hacer es sumar, restar y escalar vectores. Sin embargo, no hay ninguna razón por la que no puedas pensar en un espacio vectorial que tenga una buena noción de multiplicación, y no es mucho más un salto crear uno que también tenga división. Un ejemplo básico son los números complejos [math] \ mathbb {C} [/ math], que, como espacio vectorial, son los mismos que [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]. Pero también puede multiplicar y dividir números complejos, y la multiplicación se comporta bien (específicamente, se distribuye sobre la suma).

Para generalizar esta idea, necesitamos la noción de álgebra, que es solo un espacio vectorial con una buena forma de multiplicar vectores y obtener otro vector. Podríamos agregar cualquier multiplicación antigua, pero no es realmente interesante a menos que insistamos en que la multiplicación se comporte bien con la suma. Esto significa (usaré [math] u, v, w [/ math] para denotar vectores, y [math] a [/ math] para denotar un escalar):

• Distributividad (en ambos lados, ya que no exigiremos conmutatividad): [matemáticas] u * (v + w) = u * v + u * w [/ matemáticas] y [matemáticas] (u + v) * w = u * w + v * w [/ matemáticas].
• Compatibilidad con la multiplicación escalar: [matemáticas] (au) * (bv) = (ab) (u * v) [/ matemáticas].

Juntas, estas propiedades significan que, para cualquier vector [matemática] u [/ matemática], el mapa “multiplicación por [matemática] u [/ matemática]” es lineal , es decir, puede representarse mediante una matriz. A veces (¡pero no siempre!) También queremos que nuestra multiplicación sea asociativa, es decir,

[matemáticas] (u * v) * w = u * (v * w) [/ matemáticas].

En términos de matrices, esto solo significa que la matriz de [math] u * v [/ math] es solo el producto de las matrices de [math] u [/ math] y [math] v [/ math].

Los ejemplos que se han dado, incluidos [math] \ mathbb {C} [/ math] y [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] con productos cruzados, son ejemplos de álgebras. Algunos otros ejemplos incluyen el anillo polinomial de polinomios en cierto número de variables y el anillo matricial de matrices [math] n \ times n [/ math].

Ahora queremos preguntarnos si podemos dividir en este álgebra, o de manera equivalente, si podemos encontrar inversos multiplicativos. Por ejemplo, en el álgebra matricial, cualquier matriz con determinante distinto de cero tiene un inverso, por lo que hay algunas matrices por las que realmente se puede dividir. Sin embargo, también hay matrices que no son invertibles, por lo que en general no se pueden dividir dos matrices.

Sin embargo, hay álgebras en las que puede dividir dos elementos (distintos de cero), que se denominan álgebras de división. Las cuatro álgebras de división más familiares son:

• [math] \ mathbb {R} [/ math], los números reales. Estos son un espacio vectorial (de dimensión uno), y podemos multiplicar y dividir dos números reales.
• [math] \ mathbb {C} [/ math], los números complejos. Como se señaló anteriormente, los números complejos son un espacio vectorial bidimensional.
• [math] \ mathbb {H} [/ math], los Cuaterniones, un espacio vectorial de cuatro dimensiones. Los cuaterniones son como los números complejos, pero con tres raíces cuadradas linealmente independientes diferentes de -1. A diferencia de los números reales y complejos, su multiplicación no es conmutativa.
• [math] \ mathbb {O} [/ math], los Octonions, un espacio vectorial de ocho dimensiones. Tienen siete raíces cuadradas linealmente independientes diferentes de -1, y no solo su multiplicación no es conmutativa, sino que tampoco es asociativa.

Estas cuatro álgebras de división se muestran en todas las matemáticas y también en la física. Tienen la propiedad especial de ser las únicas álgebras de división que también tienen una norma , o una forma de medir la longitud de un vector (teorema de Hurwitz, ver Álgebra de división normalizada). De hecho, TODAS las álgebras de división de dimensiones finitas deben ser de dimensión 1, 2, 4 u 8, pero no necesariamente deben ser las mismas que las cuatro enumeradas anteriormente.

Esa es una pregunta interesante. ¿Qué significa “dividir”? Decimos que x = a ÷ b si b • x = a, donde “•” es algún tipo de multiplicación. Si muchas “x” diferentes satisfacen b • x = a, entonces no podemos obtener un resultado único para a ÷ b. Para números ordinarios, reales o complejos, tenemos una solución única x para b • x = a, donde “•” es una multiplicación ordinaria , siempre que b no sea cero. Entonces podemos dividir números por números, siempre y cuando no dividamos por cero.

Entonces, ¿qué tipo de “•” podría estar involucrado con los vectores? El “•” más obvio es el producto punto vectorial, que proporciona un número ordinario para el producto punto de dos vectores de la misma dimensión. El problema es este: si la dimensión es dos o más grande, siempre puedes encontrar varias x con b • x = 0, vectores en ángulos rectos a b. Puede agregar esas x a cualquier solución para b • x = a y obtener otras soluciones. Entonces no hay una respuesta única para a ÷ b donde a es un número y b es un vector.

Quizás se pregunte sobre el producto cruzado de vectores para vectores 3 D, en lugar del producto de puntos. Nos encontramos con un problema similar: cualquier x paralelo a b da (b cross x) = 0, etc.

Ahora puede ser más elegante y pensar en cómo el producto de una matriz y un vector es otro vector. Terminas con el mismo problema. Si existe una respuesta, no es única.

Para más consulta:

¿Qué es la división vectorial?

¿Podemos dividir dos vectores?

Nadie le impide definir alguna forma de división para los vectores. Por ejemplo, podríamos simplemente definir dividir dos vectores de igual tamaño para significar la división entre elementos.

La cuestión es que casi nunca necesitamos hacer esto en la práctica. Esta es la razón por la que “no puedes dividir vectores”. No hay necesidad de tal operación y, por lo tanto, no hay necesidad de que aprendas algo tan innecesario.

Tenga en cuenta que tampoco puede multiplicar vectores. De nuevo: no hay necesidad de eso. Por supuesto, tenemos productos cruzados, pero esto no es realmente lo que normalmente pensamos que es multiplicar; y además solo se define en 3 dimensiones. El producto punto devuelve un escalar. Resulta, sin embargo, que tanto los productos cruzados como los puntos aparecen por todas partes; y así los definimos como operaciones estándar.

Si estás aprendiendo álgebra lineal, también sabrás sobre matrices. No puedes hablar estrictamente dividir estos tampoco. Pero necesitamos algo similar a la división, y así definimos para las matrices NxN la “matriz inversa”, que sirve como división. Como comentario adicional, para las matrices MxN también puede definir un pseudo-inverso, que también aparece aquí y allá.

TL; DR: solo definimos operaciones en objetos si estas operaciones son comunes. No tiene sentido generalizar una operación si nunca necesitamos la generalización.

La forma más intuitiva de definir la división vectorial (al menos para mí) es encontrar la matriz [matemática] A [/ matemática] de modo que [matemática] Ax = y [/ matemática] podamos inventar una nueva notación y decir [matemática] A = y / x [/ matemáticas]. El problema con esta definición es que la matriz [matemáticas] A [/ matemáticas] no es única.

La división se considera típicamente la operación inversa de la multiplicación. Es decir que si escribimos [math] \ frac {a} {b} = c [/ math], es lo mismo que [math] a = bc [/ math]. Si [matemática] c [/ matemática] es [matemática] a [/ matemática] dividida por [matemática] b [/ matemática], entonces [matemática] a [/ matemática] es el producto de [matemática] b [/ matemática] y [matemáticas] c [/ matemáticas].

Cuando se trata de cantidades escalares, todo está bien, pero se vuelve más complicado cuando tienes objetos con una estructura diferente, como los vectores. Pero los vectores son como matrices, ¿verdad? Entonces, ¿cómo funciona la división allí?

Bueno … en cierto sentido lo hace, pero no lo hace. En su lugar, consideramos que la división es simplemente la multiplicación de un número (o matriz) por su inverso multiplicativo (único). Es decir, si [math] a \ in \ mathbb {R} [/ math], entonces [math] a ^ {- 1} = \ frac {1} {a} [/ math] es el inverso multiplicativo de [math ] a [/ math] – o el número tal que [math] aa ^ {- 1} = 1 [/ math]. Tenga en cuenta que [math] 1 [/ math] es su propio inverso porque es la identidad multiplicativa. Las matrices no son tan simples como los escalares, pero se mantienen algunas similitudes en su comportamiento.

Suponiendo que le resulta familiar la multiplicación de matrices, sabemos que cualquier matriz cuadrada con determinante distinto de cero tiene un inverso, y que el inverso es único. La multiplicación de una matriz [matemática] A [/ matemática] por su inversa [matemática] A ^ {- 1} [/ matemática] da la matriz de identidad, multiplicando así cualquier otra matriz [matemática] B [/ matemática] por [matemática] A ^ {- 1} [/ math] es algo así como “dividir por [math] A [/ math]”, aunque en general la multiplicación izquierda y derecha dan resultados diferentes a menos que todas las matrices involucradas tengan propiedades especiales.

Entonces este es el equivalente matricial de la división. ¿Qué hay de los vectores?

Bueno, son solo matrices no cuadradas. Una fila o una columna.

Suponga que [math] u, v [/ math] son ​​vectores de columna en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Entonces, la forma en que normalmente funciona la multiplicación de matrices tenemos [math] u ^ T v \ in \ mathbb {R} [/ math] y [math] uv ^ T \ in \ mathbb {R} ^ n \ times \ mathbb {R} ^ n [/ matemáticas].

¿Podemos elegir para cualquier vector [math] v [/ math] un vector [math] u [/ math] tal que [math] u ^ T v = 1 [/ math]?

Bueno, en términos de la estructura de la multiplicación de matrices, esto es solo el producto de punto [math] u \ cdot v = u_1v_1 + \ dots + u_nv_n [/ math]. Ciertamente, siempre y cuando no todos los elementos de [math] v [/ math] sean cero, podemos elegir elementos de [math] u [/ math] de modo que sea igual a 1. De hecho, tendría infinitas opciones. . Considere [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]. Luego, dado [math] v_1, v_2 [/ math], podemos reorganizar [math] u_1v_1 + u_2v_2 = 1 [/ math] para que [math] u_2 = \ frac {1} {v + 2} (1-u_1v_1 ) [/ math] es la ecuación de una línea. Cualquier punto en esa línea satisfará parte de la idea de un inverso, pero no es único.

La otra posibilidad, el producto diádico,

[matemáticas] uv ^ T = \ begin {pmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 \\ u_2v_1 & u_2v_2 \ end {pmatrix} [/ math]

es más interesante, porque requiere que [math] u_1v_2 = u_2v_1 = 0 [/ math] y [math] u_1v_1 = u_2v_2 = 1 [/ math]. Espero que pueda ver por qué eso nunca le dará una matriz de identidad dada cualquier [matemática] v_1, v_2 [/ matemática]. Ciertamente, no podría usar la misma [matemática] u [/ matemática] que para el escenario anterior.

Entonces, con la única forma de multiplicar dos vectores, tenemos una familia de inversos multiplicativos para un vector dado, ¡y de otra manera no tenemos inversa multiplicativa!

Parece que, dada la forma en que normalmente pensamos en multiplicar vectores, no hay forma de definir un inverso multiplicativo de un vector que satisfaga las propiedades que queremos que tenga ese inverso.

Y es por eso que la división de vectores no es posible.