Probablemente no, aunque no creo que se sepa.
La conjetura de Schanuel (conjetura de Schanuel – Wikipedia) aplicada a [math] (z_1, z_2, z_3) = ([/ math] [math] \ log (\ pi), [/ math] [math] \ log (a), [/ math] [math] i \ pi) [/ math] dice que si [math] rz_1 + sz_2 + tz_3 [/ math] nunca es cero para números racionales [math] r, s, t [/ math] que no son todos cero, entonces el grado de trascendencia de [matemáticas] (z_1, z_2, z_3, e ^ {z_1}, e ^ {z_2}, e ^ {z_3}) [/ matemáticas] es al menos 3.
Podemos comprobar que se cumple el requisito. Si [math] r \ log (\ pi) + s \ log (a) + ti \ pi [/ math] es cero, entonces su parte imaginaria (que es [math] t \ pi [/ math]) tiene que ser cero, entonces [matemática] t = 0 [/ matemática]. Entonces, si [math] r \ log (\ pi) + s \ log (a) = 0 [/ math] donde [math] r [/ math] y [math] s [/ math] no fueron ambos cero, podríamos multiplique por un denominador común de [math] r [/ math] y [math] s [/ math] para obtener [math] m \ log (\ pi) = n \ log (a) [/ math] para enteros [math] ] m [/ matemáticas] y [matemáticas] n [/ matemáticas]. Tomando el exponencial, esto significaría [matemáticas] \ pi ^ m = a ^ n [/ matemáticas] lo que significaría que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] en sí es algebraico. Entonces esto nunca sucede.
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El grado de trascendencia es un concepto algo técnico. Pero en este caso, puedo darte una idea de por qué tendría que ser como máximo 2 si se mantenía [math] \ pi = a ^ b [/ math]. Tenemos estos seis números, [matemática] \ log (\ pi) [/ matemática], [matemática] \ log (a) [/ matemática], [matemática] i \ pi [/ matemática], [matemática] e ^ { \ log (\ pi)} = \ pi [/ math], [math] e ^ {\ log (a)} = a [/ math], [math] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ math ], y el grado de trascendencia tiene que ver con el conjunto de números que pueden expresarse como funciones racionales de ellos (es decir, sumando, restando, multiplicando y dividiendo comenzando con los números racionales y estos seis números). El conjunto de números que podemos producir de esta manera se conoce como un “campo”, una estructura algebraica cerrada bajo las cuatro operaciones y que obedece a un conjunto estándar de reglas. Este campo se llama el campo “generado” por los seis números.
El grado de trascendencia es el número de elementos que podemos encontrar en el campo que no tienen ninguna relación algebraica no trivial entre ellos. Los números -1 y [matemáticas] a [/ matemáticas] son algebraicos y no contribuyen al grado de trascendencia. Los números [matemática] \ pi [/ matemática] y [matemática] i \ pi [/ matemática] tienen una relación algebraica entre ellos ([matemática] x ^ 4-y ^ 4 = 0 [/ matemática] si [matemática] x = \ pi [/ math] y [math] y = i \ pi [/ math], y [math] x ^ 4-y ^ 4 [/ math] es un polinomio distinto de cero), por lo que juntos solo pueden contribuir uno al grado de trascendencia. Si [math] \ pi = a ^ b [/ math] entonces [math] \ log (\ pi) = b \ log (a) [/ math] nos daría también una relación algebraica no trivial entre [math] \ log ( \ pi) [/ math] y [math] \ log (a) [/ math], de la forma [math] c_0 (\ log (\ pi) / \ log (a)) ^ n +… + c_n = 0 [ / math] donde [math] c_0b ^ n +… + c_n = 0 [/ math] es un polinomio distinto de cero con coeficientes enteros satisfechos por [math] b [/ math]. Entonces (pasando por alto algunos detalles técnicos importantes aquí) todo en nuestro campo sería algebraico sobre polinomios en [math] \ pi [/ math] y [math] \ log (a) [/ math] haciendo el grado de trascendencia como máximo 2 .
A menos que haya cometido un error aquí (lo cual es bastante posible), entonces la conjetura de Schanuel implica que [math] \ pi [/ math] no puede expresarse de la manera en que usted pregunta. No veo ninguna forma de demostrar que es imposible sin asumir la conjetura, y me parece probable que esta sea una de las muchas conclusiones que podemos inferir asumiendo la conjetura de Schanuel de la que no sabemos cómo demostrar sin asumiéndolo.
Estas cosas son a menudo muy difíciles de probar. Por ejemplo, no veo de antemano cómo se podría probar que [math] b = \ log_2 (\ pi) [/ math] es trascendental. El teorema de Gelfond-Schneider nos muestra que si [matemática] b [/ matemática] fuera algebraica, entonces [matemática] \ pi [/ matemática] sería trascendental, pero de hecho [matemática] \ pi [/ matemática] es trascendental de modo que no nos ayuda Si [math] b [/ math] fuera algebraico, entonces podríamos escribir [math] \ pi [/ math] como [math] 2 ^ b [/ math] y este sería un ejemplo de lo que preguntas. No creo que sea un ejemplo, pero ni siquiera puedo probar que no lo sea.
