I. Usemos un enfoque de resolución de problemas conocido como equivalencia .
Con este enfoque, elegimos un objeto ventajoso o un conjunto de objetos y los miramos desde diferentes … ángulos con la esperanza de que podamos derivar una relación fructífera en el proceso.
Uno de esos objetos o nociones podría ser el área cuadrada .
- ¿Alguien puede tener éxito en concursos de matemáticas con suficiente práctica?
- ¿Qué clases debo tomar en un programa de matemáticas de MS para prepararme para un doctorado en economía?
- ¿Cuál es la pregunta matemática más complicada pero más simple que puede confundir a un matemático?
- En la fórmula para una perpetuidad creciente, ¿qué sucede cuando 'g' es igual a 'r', causando que el denominador sea cero?
- ¿Algunas matemáticas son tan complejas que solo los jóvenes pueden entenderlas?
Comenzamos con un triángulo rectángulo cuya longitud de hipotenusa es una unidad, elegimos un ángulo [matemático] x [/ matemático] y marcamos las longitudes de los lados del triángulo como [matemático] \ cos x [/ matemático], lo cual aceptamos tratar como la altura del triángulo, y [math] \ sin x [/ math], que aceptamos tratar como la base del triángulo:
Luego consideramos que es un hecho comprobado que el área cuadrada de un triángulo es el producto reducido a la mitad de su base sobre la altura:
[matemáticas] A _ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1} [/ math]
El siguiente paso es bastante desafiante porque en el vacío realmente no sabemos exactamente qué nos espera al otro lado de [matemáticas] 2 \ sen x \ cos x [/ matemáticas]. Desde el punto de vista de los descubridores, estamos mirando el abismo de lo desconocido. Así que llámelo intuición, un pensamiento feliz o simplemente una nariz, pero razonamos así:
ok, hemos encontrado una manera de adjuntar una noción concreta (un área cuadrada) a una expresión abstracta y, por supuesto, misteriosa, pero no exactamente porque todavía debemos trabajar el factor de [matemáticas] 2 [/ matemáticas ] ahí.
¿Cómo podemos hacer eso?
Bueno, ¿qué hay de unir los dos triángulos idénticos juntos?
Entonces la altura, o la [matemática] \ cos x [/ matemática] en nuestra jerga, permanece igual pero ganamos soldando las dos bases idénticas, [matemática] \ sen x [/ matemática] en nuestra jerga, en una:
Observe que seguimos / interpretamos pedagógicamente su expresión.
Ahora es el momento para que la equivalencia se mantenga erguida y se cuente. La nueva forma compuesta sigue siendo un triángulo y su área cuadrada sigue siendo:
[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2} [/ matemáticas]
pero tenemos derecho a mirar la misma forma de manera diferente: si tratamos el lado de la longitud [matemática] 1 [/ matemática] como base, entonces la perpendicular a ella, que se muestra en rojo, es la altura. Pero el ángulo en el vértice superior es [matemática] 2x [/ matemática]. Por lo tanto, la nueva altura por definición es:
[matemáticas] 1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ etiqueta {3} [/ matemáticas]
Por lo tanto, la misma área cuadrada del mismo triángulo se puede representar como:
[matemáticas] A _ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4} [/ math]
Pero ( 2 ) y ( 4 ) representan la misma magnitud. Por lo tanto:
[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {} [/ matemáticas]
desde donde descubrimos que:
[matemáticas] 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {} [/ matemáticas]
II Para un tratamiento similar pero más alfabetizado, comience con el mismo triángulo que el anterior y duplique la longitud de su lado [matemático] \ sen x [/ matemático] construyendo un círculo [matemático] \ sigma [/ matemático] con el centro en [matemático ] B [/ matemática] y el radio [matemática] BA [/ matemática]:
Pero ahora [math] AC [/ math] se cruza [math] \ sigma [/ math] en [math] E [/ math] (siempre que [math] x <45 ^ {\ circ} [/ math]) y ya sea por el Teorema de Thale o por el B3P31 de Euclides (el ángulo en un semicírculo es correcto) el ángulo en [matemáticas] E [/ matemáticas] es correcto:
y dado que los triángulos rectángulos [matemática] ABC [/ matemática] y [matemática] AED [/ matemática] comparten un ángulo común [matemática] \ theta [/ matemática] se deduce que [matemática] \ ángulo ADE = x [/ matemática] y de [math] \ triangle AED [/ math] para [math] ED [/ math] tenemos:
[matemáticas] | ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {} [/ math]
Pero desde el triángulo rectángulo [matemáticas] CED [/ matemáticas] para [matemáticas] ED [/ matemáticas] tenemos:
[matemáticas] | ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {} [/ math]
y por lo tanto:
[matemáticas] 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {} [/ matemáticas]
(Puede pensar en esto como una equivalencia más delgada ya que hemos utilizado la longitud de un segmento de línea para cerrar la brecha entre las dos piezas juntas)
III. Con toda probabilidad, esta versión puede parecer demasiado avanzada, pero la mostraré de todos modos y por dos razones. Una razón es demostrar que en matemáticas no solo hay muchas formas diferentes de obtener el mismo resultado, sino que algunas de estas formas pueden parecer sorprendentes. La otra razón: tendrá algo que esperar aprender.
En algún momento de tu educación matemática puedes encontrar estos objetos llamados números complejos. Con estos números, nuestras dos funciones trigonométricas pueden registrarse de la siguiente manera (debido al gran matemático suizo Leonard Euler (1707-1783)):
[matemáticas] \ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} \ tag {5} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]
donde [math] e [/ math] es el número de Euler y [math] i [/ math] tiene esta propiedad peculiar de que [math] i ^ 2 = -1 [/ math] pero ignora todo esto por un momento y sin rodeos multiplique las dos fracciones anteriores de acuerdo con las reglas del álgebra de la escuela intermedia:
[matemáticas] 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * { }[/matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {} [/ math]
de acuerdo con ( 5 ).
