¿Cuál es la mayor creación matemática de todos los tiempos?

El hecho de que la raíz cuadrada de dos no se puede expresar como la razón de dos enteros. Esto fue hecho por los pitagóricos. Lo que lo hizo espectacular es que fue la primera “verdad” que nunca podría haberse descubierto experimentalmente. La verdad de este teorema reside solo en la mente humana. Y, sin embargo, la prueba es tan simple que puede ser entendida por un estudiante de secundaria.

Aquí hay una cita de mi libro Now: The Physics of Time:

—— comienzo del extracto de ahora—–

Los pitagóricos, alrededor del año 600 aC descubrieron que la raíz cuadrada de 2 no podía escribirse como una relación de enteros. Como resultado, los llamaron irracionales . No racional Loco.

Esto puede sonar como un asunto matemático arcano, pero piénselo. ¿Cómo podría estar seguro de que esa afirmación es cierta? Después de todo, la raíz cuadrada de 2 no es un número particularmente extraño; es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos brazos tienen cada uno longitud 1. La medición física no podría concluir que el número sea irracional. Nunca podría probar todas las combinaciones de enteros posibles. Supongamos que te dijera que la raíz cuadrada de dos es igual a 1,607,521 dividida entre 1,136,689. No lo es, pero esa fracción está muy cerca. Intentalo; haz la división en tu calculadora y luego cuadrala. O use una hoja de cálculo …

Un hecho aún más sorprendente sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, algo que muestra cuán extraordinario es realmente este hecho, es que se descubrió solo una vez en la historia de la civilización. Todas las demás declaraciones de este hecho en todo el mundo pueden rastrear el origen de su conocimiento hasta el trabajo de los matemáticos griegos.

——Eje de extracto—–

Aquí hay una prueba rápida: Asumiremos que [math] \ sqrt {2} [/ math] puede escribirse como la razón de dos enteros, p / q , donde p o q es un número impar. (Si ambos son pares, cancele el factor común de 2 y repita hasta que al menos uno sea impar). Y luego llegue a una contradicción. Eso demostrará que la suposición original era falsa.

[matemáticas] \ sqrt {2} = p / q [/ matemáticas]

[matemáticas] p = q \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Cuadrado a ambos lados:

[matemáticas] p ^ 2 = 2q ^ 2 [/ matemáticas]

Como [math] p ^ 2 [/ math] es un múltiplo de 2, eso significa que [math] p ^ 2 [/ math] es par. Pero entonces p es par, ya que el cuadrado de un número impar siempre es impar. (Si no lo sabe, entonces es fácil de probar. Cualquier número impar puede escribirse como un número par más 1. Cuadre eso y verá que obtiene un número impar).

Como p es par, escríbelo como 2 m . Ahora conéctese a la ecuación:

[matemáticas] p ^ 2 = 2q ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2m) ^ 2 = 2q ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4m ^ 2 = 2q ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2m ^ 2 = q ^ 2 [/ matemáticas]

Eso significa que [matemáticas] q ^ 2 [/ matemáticas] es par y, por lo tanto, también lo es q .

Eso es una contradicción. Habíamos dicho que al menos uno de p y q debe ser impar, pero hemos demostrado que ambos son pares. Por lo tanto, nuestra suposición de que podemos escribir [matemáticas] \ sqrt {2} = p / q [/ matemáticas] es falsa.

Si esto te intriga, aquí hay otro extracto de mi libro Now.

—— extracto de ahora ———-

Según la leyenda, los pitagóricos estaban tan molestos por el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 es irracional que arrojaron a Hippasus, el hombre que lo descubrió, por la borda desde un bote. (La metáfora moderna es “tirarlo debajo de un autobús”.) La prueba de Hippasus puede haber sido similar a la que presento [arriba], pero hay buenas pruebas alternativas, una basada en la geometría.

Según otra versión de la leyenda, los pitagóricos consideraban que el descubrimiento de la naturaleza de la raíz cuadrada de 2 era tan profundo que se convirtió en el fundamento de su religión. En esa historia, arrojaron a Hippasus por la borda para castigarlo por haber revelado este gran secreto a los extraños. Pero es cierto que los pitagóricos habían descubierto en este teorema la verdad profunda de que existe conocimiento que existe fuera de la realidad física, una verdad tan asombrosa que lo revelaron solo a aquellos que juraron la fe pitagórica. Hippasus había descubierto que la verdad no física, la verdad que desafía la verificación física, sí existe.

No soy matemático, sino un entusiasta de las matemáticas. Entonces, espero que la mía se tome como una visión “externa”.
Los romanos tenían un sistema numérico muy simple, muy intuitivo. Sin embargo, tuvieron un momento difícil con grandes números. Parecen oraciones en sí mismas (MCMXCVII para 1997). Este fue un gran problema para ellos en términos de procesos de pensamiento matemático. En algún lugar de la historia, un niño genio de las matemáticas fue bloqueado porque se sentía consumado de poder mirar rápidamente un número y decir qué número era. Lo que significa que el lenguaje no permitía a las personas tener pensamientos de orden superior.

Desde esa perspectiva, creo que los números indios (los números arábigos son un nombre inapropiado) fue el gran problema. Creo que cuando hablamos de eso, no podemos separar el cero del grupo. Porque cero fue el paso más importante en la “finalización” del conjunto de números.

Sistemas de coordenadas y geometría analítica. La idea de que una ecuación en x e y corresponde a una curva en el plano xy . Esta conexión fue hecha por Descartes y Fermat alrededor de 1640.

Esto conectó dos ramas de las matemáticas: Geometría y Álgebra. Ambas son antiguas ramas de las matemáticas, pero el álgebra simbólica solo se desarrolló en el siglo anterior. Tan pronto como se hizo esta conexión, el análisis despegó. Las matemáticas se desarrollaron rápidamente a partir de entonces.

Serie de Taylor.

Que cada función analítica se pueda aproximar a un grado elegido simplemente sabiendo que sus propiedades son puntuales es mágico.

Además, teniendo en cuenta una función, la expansión de Taylor suele ser más bella.

Por ejemplo la función exponencial

Se generaliza a las matrices de esta manera, manteniendo las maravillosas propiedades de la función exponencial.

Por ejemplo, dar la solución a y ‘(t) = A * y (t)
Y siendo la base para ecuaciones diferenciales en muchas variables.

Para funciones con singularidades en el plano complejo (como 1 / x), la serie Taylor sigue siendo excelente para analizarlas con continuación analítica: con discos superpuestos con expansiones desde puntos donde convergen sus series.

La serie Taylor también es la base de otros espacios funcionales completos, como las expansiones de Fourier.

Las series Taylor no son triviales, potentes y muestran una buena simetría entre cálculo y polinomios.

Quizás la noción original de abstracción.

Ser capaz de modelar un objeto físico con uno ideal y “hacer matemáticas” es una noción muy poderosa que todavía es bastante molesta (por ejemplo, la irracional efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales).

Por supuesto, no se detiene allí, ya que la abstracción se convierte en una herramienta dentro de las matemáticas. Mediante la aplicación cuidadosa de la abstracción, uno puede elegir propiedades para estudiar (por ejemplo, los enteros no son solo un conjunto, sino también un anillo; el círculo también tiene estructura de grupo; …) y hacer declaraciones generales sobre TODO lo que tiene esa estructura y, por supuesto También muestre algo sobre el objeto con el que comenzó.

El sistema de numeración hindú-árabe que incluye cero y nos da un valor posicional.

No soy matemático, pero el valor posicional me parece fundamental.

* Los números hindúes-árabes fueron inventados por matemáticos hindúes en la India. Fueron llamados “números hindúes”. Más tarde los europeos los llamaron números “árabes”, porque los comerciantes árabes los introdujeron en Occidente. (Gracias Markandeya Janaswamy por el aviso).

Sistema de numeración hindú-árabe

La geometría fue la base de la ingeniería para el Imperio romano.

El cálculo es básicamente la base de toda la tecnología construida en los últimos cientos de años.

La teoría de juegos y la teoría de la complejidad te permiten predecir el comportamiento humano con precisión …

Probablemente el mayor impacto individual vino de Calc. Muy fundamental para todo lo que tenemos y hacemos hoy. Literalmente un cambio de paradigma.

Desde el punto de vista matemático, hay literalmente cientos de descubrimientos matemáticos muy interesantes y muy oscuros que son más impresionantes o geniales. Pero desde una perspectiva funcional, los fundamentos son los descubrimientos más importantes.

La idea de que puedes probar las cosas matemáticamente. No estoy seguro de cuál fue la primera prueba matemática, pero no pudo ser mucho antes del teorema de Pitágoras o de que la raíz cuadrada de 2 fuera irracional. Y esto fue logrado por los griegos.

Antes de ese punto, los chinos, los indios e incluso los babilonios habían encontrado independientemente el teorema de Pitágoras. Pero ninguno de ellos lo había demostrado. Y no es sorprendente que no pudieran avanzar mucho, matemáticamente, más allá de eso. Fue el concepto de prueba lo que realmente abrió las matemáticas.

Números imaginarios o “complejos”. Como alguien que ha trabajado durante años con componentes reactivos en el diseño de altavoces y filtros, incluido el software de escritura para ellos, nunca deja de sorprenderme lo perfectamente que funcionan los números complejos. Multiplique algo por el sqrt (-1) y llame a esa cosa i, j o ​​lo que sea, y tendrá una nueva dimensión.

No es solo matemática vectorial y lleva un poco de tiempo acostumbrarse, sino que hace un uso completo del sistema de coordenadas y se puede ver desde muchas perspectivas debido a ello. Entonces puede ver solo la respuesta de amplitud, o solo la respuesta de fase. O puede mirar en términos de una función circular. O en solución como polos y ceros.

Pero donde sospecho que realmente puntúa es en la conceptualización de dimensiones adicionales por qué puede (o se ha convertido) en una de las mejores formas de ver las cosas fuera de nuestro mundo tangible tridimensional. Hubo un tiempo en que se pensaba que los campos magnéticos y eléctricos eran invisibles. Ahora son casi tan tangibles como cualquier cosa que podamos ver con nuestros ojos. Pero se describen por números complejos hasta casi la perfección (y si hay un defecto es nuestro, no las matemáticas). Su descubrimiento puso en marcha a la Royal Society en ese momento, aunque nadie pensó entonces que serían perfectamente descritos. Ahora puede obtener un software de computadora gratuito que le dirá exactamente cómo se comporta cualquier campo, cortesía de estas matemáticas. Creo que eso está bastante bueno.

Además, sospecho que se usará en el futuro para describir fenómenos que hoy no entendemos.

El descubrimiento de John Naiper de logaritmos.
Escribió Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614) que contiene material explicativo y tablas de números relacionados con logaritmos naturales. Su trabajo tiene alrededor de 90 páginas de tabla de registro.

Dos páginas de la tabla logarítmica de Napier:

Estoy de acuerdo con Gina Langridge y otros que dicen que la mayor creación matemática de todos los tiempos fue:

Cero.

Antes de su aceptación generalizada, las matemáticas eran poco más que un sistema de recuento, la aritmética era mucho más difícil y dependía del cálculo de “trucos”.

Muchos de los avances realizados por los matemáticos griegos requirieron el uso de cero, a pesar de que muchos de los matemáticos no estaban convencidos de su existencia (“¿cómo puede existir una nada ?”) Y de que hubo interminables debates filosóficos sobre esto hasta la Edad Media.

Hecho, funciona y es esencial.

Como estoy a punto de mencionar mi propia creación, podrías descalificarla de la ejecución en todas las grandes menciones aquí, pero aquí tienes … Tuve la suerte de exprimir del fruto de la aritmética básica una nueva constante que todos los ¡eruditos y gigantes del pasado pasados ​​por alto desde tiempos inmemoriales! Es decir, hay una constante lentamente convergente acumulada de la simple [matemática] \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ n \ left (n ^ {1 / n} -1 \ right) . [/ math] Otros lo nombraron después de mis iniciales para mi problema. No pasó mucho tiempo desde que probé por primera vez su néctar que fue reconocido como miembro de buena fe de uno de los géneros matemáticos. MRB Constant – de Wolfram MathWorld

Bueno, cuando vi esto no pude dormir tranquilo por unas semanas. Esto es un poco más hacia el lado filosófico de las matemáticas, pero creo que es uno de los mejores descubrimientos / creación.

Tiene e, pi, número imaginario, y obviamente 0 y 1. Tiene un significado filosófico inmenso.

Además, mira esto:

Teoremas de incompletitud de Gödel

Que las matemáticas no se descubren sino que se inventan. Es decir, que los objetos matemáticos no están necesariamente vinculados al mundo real.

Por ejemplo, el descubrimiento de la geometría no euclidiana, que la geometría no estaba restringida a planos y espacios convencionales, liberó radicalmente la imaginación y la creatividad de los matemáticos. A su vez, esto liberó a los físicos teóricos como Einstein para contemplar el espacio-tiempo curvo en el corazón de la Relatividad General.

Otro ejemplo es la invención de una raíz cuadrada de menos uno y la clase asociada de números complejos. Esos números obviamente no son reales, pero liberan la mente para pensar en objetos aún más exóticos que pueden o no tener un uso práctico en el futuro.

Hay muchos ejemplos, pero ese primer paso, cada vez que se dio, de liberar a las matemáticas de los grilletes de la realidad fue un descubrimiento verdaderamente profundo y sorprendente. ¿O debería ser una invención?

El método de prueba: construir un argumento riguroso, comprensible y concluyente que establezca la validez de un teorema.

El descubrimiento de Eudoxus en aproximadamente 375 a. C. de lo que ahora llamamos el Corte Dedekind. Por primera vez, el número estaba completamente integrado con la geometría. Los números irracionales (es decir, casi todas las longitudes geométricas) podrían tratarse analíticamente (es decir, utilizando proporciones) a pesar de que casi todas las longitudes (los irracionales) no son proporciones en sí mismas. Fue la primera concepción rigurosa y el uso de secuencias infinitas, fue la primera definición rigurosa del concepto de límite, fue la inspiración y la base para el descubrimiento de Arquímedes de lo que se convertiría en cálculo dos mil años después, fue la inspiración y la base para la resurrección de esos conceptos en la Europa del siglo 16, y fue el primer descubrimiento decisivo para liberar a las matemáticas de la esclavitud de lo finito.

La misma noción de cuantificación. En The Measure of Reality (ver Reseña del libro: The Measure of Reality de Alfred Crosby por Peter Flom sobre pensamientos aleatorios) Alfred Crosby señala que, antes de finales de la Edad Media, las personas en el mundo occidental no pensaban cuantitativamente: no pensaban No piense en el tiempo, el dinero o cualquier otra cosa como lo hacemos ahora.

Esto cambió el mundo.

Mi principio matemático favorito (no descubrimiento):

[matemática] | A | = | B | [/ matemática] si existe una función biyectiva [matemática] f: A \ rightarrow B [/ matemática]. (Todos los valores en [matemática] B [/ matemática] se logran exactamente una vez). Si existe una sobreposición, entonces [matemáticas] | A | \ ge | B | [/ math], y si existe una inyección, [math] | A | \ le | B | [/ math].

Creo que contar es el mayor descubrimiento matemático de todos los tiempos. En su forma más simple, el conteo implica la creación de una correspondencia uno a uno. Considere que si estaba contando un rebaño de ovejas y lo hizo poniendo una piedra en una canasta por cada oveja que vio, estaría haciendo una piedra igual a una oveja. Después de contar la idea de nombrar los números, surge casi automáticamente, al igual que la idea de que uno más uno es igual a dos. Quien descubrió la idea de contar era un genio y todo el resto de las matemáticas que tenemos no sería posible sin este notable invento.