¿Qué tan probable es que un estudiante de matemáticas no pueda resolver los problemas de la OMI? ¿Hay miedo de la vergüenza de ser un doctorado en matemáticas? ¿Quién no puede resolver los problemas que pueden hacer los estudiantes de secundaria?

La investigación matemática es diferente de la resolución de problemas matemáticos, aunque las habilidades a veces se cruzan y pueden beneficiarse de la sinergia si eres bueno en ambos.

La investigación a menudo tiene objetivos vagos porque no se sabe de antemano a dónde conducirá una línea de estudio en particular (de lo contrario, no sería investigación …). En esto trabajan los estudiantes de doctorado en matemáticas. Tienen un problema sin una solución conocida y están tratando de hacer progresos progresivos para resolverlo. Sin embargo, los problemas son nebulosos y están mal definidos, ya que podría tener que reformularse muchas veces después de que estudios posteriores demuestren que ciertos enfoques no arrojarán respuestas satisfactorias.

Las competencias de resolución de problemas presentan problemas que son completamente inequívocos y que ya se sabe que son solucionables. No verá una pregunta como: “¿podemos paralelizar eficientemente el algoritmo X? ¿Cómo se compara el algoritmo resultante con los existentes?”

Por lo tanto, las habilidades para los dos no son las mismas. Tampoco es lo suficientemente bueno para ser simplemente “bueno en matemáticas”.

Se dice que en 1988 (Australia), durante la selección del problema, uno de los problemas fue tan difícil que varios de los principales teóricos de Australia no lograron resolverlo. Sin embargo, lo pusieron en el examen de todos modos, y varios concursantes de la OMI recibieron una puntuación perfecta en ese problema.

Puede ver el problema aquí: 1988 Problemas de la OMI / Problema 6

¿Qué es un estudiante de matemáticas? Si se entiende que eso significa licenciatura en matemáticas, entonces es casi 100% seguro de que el estudiante promedio de matemáticas no puede resolver ningún problema de la OMI. La competencia IMO ha evolucionado a lo largo de los años a un nivel muy alto. Los participantes se encuentran entre los matemáticos jóvenes más talentosos y mejor capacitados del planeta. Muchos de ellos continúan con brillantes carreras científicas.

Además (este es un problema menor), los problemas pueden estar oficialmente relacionados con las matemáticas “preuniversitarias”, por lo que, por ejemplo, se descartan métodos que dependen de los límites. La mayoría de los problemas son sobre teoría de números elementales, combinatoria, geometría elemental. Ayuda la capacitación especial en estas disciplinas, al igual que el conocimiento de trucos y patrones de preguntas de la OMI.

Sobre la última pregunta: las matemáticas no son un deporte competitivo. No estamos en este negocio por lo que hemos mejorado la autoestima: simplemente queremos aprender más y trabajar. No todos tenemos el mismo talento, recursos o suerte. Pero todos podemos intentar ser curiosos y dedicados.

No hice muchas competiciones de matemáticas antes de la universidad. Mientras estaba en Caltech, tomé el Putnam dos veces. Estaba demasiado avergonzado para conseguir mi puntaje, pero creo que cada vez que probablemente tengo 1 problema (de 12). En algunos de los años más difíciles, la puntuación media es 0.

Entonces, sí, resolver problemas de competencia requiere mucha práctica especializada, y generalmente se considera un pobre indicador de éxito en la investigación matemática.

Honestamente, cada estudiante de doctorado en matemáticas debería ser capaz de resolver fácilmente todos los problemas de la OMI (y Putnam), tal vez después de un poco de reflexión, pero mejor al instante. Si eres un estudiante de matemáticas, debes aprender los trucos estúpidos, están en el nivel secundario. Si no puede resolverlos, probablemente tendrá dificultades para resolver un problema no resuelto de todos modos, por lo que debe aprender a hacer estas cosas primero, de lo contrario, francamente, no será un estudiante muy competente.

Pero no hay que estresarse al respecto, con el tiempo y la experiencia matemática, todos se vuelven triviales. Personalmente, no he probado estas cosas en mucho tiempo, y no estoy seguro de poder resolverlas al instante, pero eso solo significa que soy incompetente y viejo. Si estás en un programa de matemáticas, definitivamente deberías sentarte y asegurarte de resolverlos todos, para que conozcas todos los trucos de primaria.

La superposición con las matemáticas profesionales es mínima. La matemática profesional es mucho más difícil, porque requiere una visión desarrollada del gran plan de una prueba, y luego dividirlo en detalles, y así sucesivamente, y esto es mucho más difícil que encontrar un truco inteligente aislado. Pero necesita trucos inteligentes aislados para terminar una prueba dura, para terminar cierto cálculo, por lo que definitivamente debe tener el arsenal estándar completo en su cinturón de herramientas.

Existe una gran cantidad de técnicas de resolución de problemas centradas en la Olimpiada que no aparecen con tanta frecuencia en la investigación matemática o en el estudio basado en la teoría y los conjuntos de problemas, lo que significa que es muy plausible que incluso un matemático experto pueda tener dificultades con algunos de estos problemas No me refiero a los conceptos básicos de las pruebas como la inducción, sino, por ejemplo, a desigualdades muy particulares que generalmente solo son útiles para este tipo de problemas de competencia. Yo diría que dependerá mucho de la especialidad del matemático; aquellos que trabajan en combinatoria probablemente tendrán una mejor oportunidad de mantener este tipo de habilidades frescas.

Tenga en cuenta que, especialmente con la OMI, generalmente también hay uno o dos problemas de geometría euclidiana, y estaría dispuesto a apostar a que muchos estudiantes pierden el contacto con el arte de esa materia poco después de comenzar sus estudios universitarios.

Como ejemplo personal, soy bastante malo en los problemas de la OMI, pero publiqué investigaciones en matemáticas como estudiante universitario, así que me gustaría pensar que no soy totalmente incompetente. Pero la investigación se llevó a cabo en el transcurso de varios meses e implicó pensar profundamente en algunas construcciones teóricas más. Se trataba más de sondear un poco más profundamente en una dirección particular de lo que se había investigado antes y menos de ser inusualmente inteligente con la manipulación de las desigualdades.

Como otro ejemplo, el joven prodigio más talentoso que conocí, mientras investigaba otro verano (era años más joven que yo y todavía estaba en la escuela secundaria), no era realmente bueno en el Putnam. Pero tal es su reputación y talento en la investigación que no voy a proporcionar su nombre, porque su nombre está en Internet.

Yo diría que es bastante probable. Personalmente, conozco a varios matemáticos y estudiantes de matemáticas que tendrían problemas para resolver algunos de los problemas de la OMI. Al menos mediante el uso de medios elementales. Hay algunos trucos de la OMI (especialmente en combinatoria, como el conteo doble) que los matemáticos de investigación que trabajan en algunas áreas en particular utilizan mucho. Por lo tanto, no tendrán muchos problemas para resolver esos problemas de la OMI. Pero dudo que alguien que trabaje en geometría algebraica pueda resolver todos los problemas de desigualdad que aparecen en la OMI.

Con respecto a su segunda pregunta, personalmente no tengo miedo de no poder hacer algo que “un estudiante de secundaria podría”. Esa afirmación me suena bastante absurda. Hay varias cosas que un estudiante de secundaria podría hacer pero no puedo hacer y viceversa . En cualquier dirección, no es tan importante. Además, la investigación matemática no es una competencia. Las personas desarrollan una experiencia en un área en particular por años y años de preparación y luego colaboran entre sí para desarrollar aún más el campo de las matemáticas.

Si no recuerdo mal, “El arte de resolver problemas” de Terrence Tao analiza la solución de un problema de teoría de números de la OMI y también describe cómo varios teóricos de números profesionales intentaron y no lograron resolverlo. Este podría ser el mismo problema al que se refiere Brian Bi.

No creo que no tengan las habilidades para resolverlo, es solo que los problemas se ponen en escenarios difíciles y se presentan de manera retorcida . Como ex participante en la OMI, puedo relacionarme con esto. Después de la prueba, resolví los problemas, dado que tenía tiempo y descubrí que podía resolver lo que había preparado / aprendido. En resumen, los escenarios difíciles y la presentación de una manera retorcida más el peso del tiempo hacen que sea difícil concentrarse en problemas difíciles. Por lo tanto, un estudiante de matemáticas podría hacer la OMI, solo tendría que resolver problemas por intuición y pensamiento, algo que se desarrolla en el campo de la investigación matemática.

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Yo diría que bastante alto.

No es que los problemas sean difíciles, es solo que son amplios. Las matemáticas son un campo enorme. Por ejemplo, si usted es especialista en álgebra abstracta, puede ser pobre en trigonometría, por ejemplo.

Enseño matemáticas en la escuela secundaria, y ciertamente soy capaz de resolver todos los problemas, pero probablemente no de inmediato.
Tendría que entrenar para ellos. Muy a menudo tengo que revisar cosas que no he usado en algunos años.
Tengo que hacer el equivalente de un curso universitario de matemáticas / primer año en la universidad todos los años solo para mantenerme en contacto.

Una de las cosas más difíciles de enseñar sobre Matemáticas es que estar equivocado no es un problema.
El punto es que miraré los problemas planteados y haré un intento razonable, algunos solo pueden resolverse entendiendo un dato específico, que es el recuerdo de la memoria, no las Matemáticas.
Diría que si sentara el IMO con mis alumnos no siempre obtendría la mejor puntuación, sin embargo, si el dinero dependiera de ello y tuviera la oportunidad de entrenar (solo un par de días), ganaría cada vez.
No tengo ninguna vergüenza de estar equivocado, de hecho, diría que lo contrario era cierto. Si nunca te equivocas, no lo estás intentando.

Saludos

La respuesta a la pregunta se ha proporcionado en un método bastante diferente, tan humorístico como puramente hipotético.

Supongamos que hay N estudiantes de matemáticas que van a aparecer para la OMI. Para cada pregunta que debe responder un candidato, hay cinco posibilidades:

i) Puede resolver completamente el problema para obtener la respuesta

ii) Puede resolver parcialmente la pregunta, pero puede adivinar la respuesta correcta

iii) Puede resolver parcialmente la pregunta, pero no puede adivinar la respuesta correcta

iv) No puede resolver el problema, pero puede obtener la respuesta mediante un juicio racional de las opciones

v) No puede resolver el problema ni adivinar la respuesta correcta

En la pregunta se ha dicho que el estudiante no puede resolver el problema, lo que significa que no puede obtener la respuesta en absoluto. Manteniendo este punto de vista, la condición (iii) y (v) probablemente podría tomarse por el fracaso del experimento aleatorio de resolver un problema de la OMI.

Deje que a cada una de las condiciones anteriores se le asigne la misma probabilidad, es decir, 1/5. Luego, el éxito del experimento incluye las condiciones (i), (ii) y (iv).

Por lo tanto P (éxito) = 3/5

Posteriormente, P (falla) = 2/5

Primero calculemos la probabilidad de N éxitos (ya que hay N estudiantes).

Por los ensayos de Bernoulli, tenemos, P (N éxitos) = (3/5) ^ N * (2/5) ^ 0

Entonces, la probabilidad de N éxitos es (3/5) ^ N

Entonces, P (N fallas) = ​​1- (3/5) ^ N

Por lo tanto, en un examen IMO con N candidatos de matemáticas, la probabilidad de que un estudiante no pueda resolver un problema IMO es 1- (3/5) ^ N.

Cuando estaba en la escuela secundaria, solía participar en un tipo diferente de competencia matemática (con un alcance diferente). Realmente disfruté eso y no fui tan malo en eso. Estoy seguro de que podría haberlo hecho mejor, pero nunca lo practiqué explícitamente. Hay algunos métodos que uno puede entrenar para mejorar la resolución de problemas matemáticos. Hay estrategias, ciertos teoremas / trucos / … uno puede memorizar, por lo que tiene una caja de herramientas para abordar los problemas. Entonces, si nunca se preparó para tales competiciones, lo más probable es que no tenga una caja de herramientas lista. Podría ser que tienes el conocimiento necesario en algún lugar oculto en tu cerebro. Podría ser que no lo haya hecho, si sus estudios de matemáticas tienen un alcance diferente. En el primer caso, encontrará la solución dentro de cierto tiempo, en el segundo caso, no lo hará (sin buscar cosas).

¿Eso te hace un mal estudiante de matemáticas? No absolutamente no.

Nunca me siento avergonzado si no puedo resolver un problema. A veces, solo pienso que es complicado. Una vez estuve absolutamente seguro de que el estudiante de secundaria que había enseñado no podía resolver un problema porque no tenía el conocimiento necesario. Estaba seguro de que necesitarías cálculo para resolver el problema. Al final, no necesitas. Me olvidé de algo, a todos los estudiantes de secundaria (alemanes) se les enseña, lo cual no es realmente relevante más adelante.

Cuando tuve un problema para resolver ecuaciones diferenciales (solo nos enseñaron la teoría y tuvimos que descubrir cómo funciona eso en la práctica en nuestro propio tiempo), le pedí ayuda a un estudiante de ingeniería. No porque fuera mejor en matemáticas que yo, sino porque era mejor calculador que yo.

De alguna manera, la gente piensa que alguien que es bueno en matemáticas tiene que saberlo todo. Pero ese es extremadamente raro el caso. Es como decir que alguien que es un buen portero de fútbol también debe ser un buen delantero.

Las matemáticas de la escuela secundaria son diferentes a las “matemáticas reales”, las competencias de matemáticas son diferentes a las de investigación, cada campo de matemáticas requiere diferentes habilidades.

No, no puedo resolver todo espontáneamente, no, no me da vergüenza.

(Miré los problemas de la OMI 2014. Me atornillarían sin preparación).

Fui miembro de mi equipo de matemáticas / liga … hace demasiados años.

¿Qué tan probable es que un estudiante de matemáticas no pueda resolver los problemas de la OMI? ¿Hay miedo de la vergüenza de ser un doctorado en matemáticas? ¿Quién no puede resolver los problemas que pueden hacer los estudiantes de secundaria?

Muy. Como en, imagina que podrías tener múltiples clases, múltiples niveles de grado, cada uno de 25–30 estudiantes, y tal vez tendrías 20–30 personas que tal vez serían parte de esto y entre ellos, tal vez una docena que podría en realidad, lo suficientemente bien como para ubicar localmente (no todos a la vez, por supuesto), y luego solo unos pocos de su región que podrían ubicarse bien regionalmente, y obtendrá un ejemplo de cómo podría ser.

Ah, claro, hay razones demográficas, financieras y de presión de grupo estándar para ni siquiera ser parte de esto, pero sé de primera mano que la competencia es intensa y las preguntas son * difíciles *.

Piénselo en términos de un examen final, y cómo una clase dada podría hacer un rendimiento inteligente en eso.

> ¿Qué tan lejos están los problemas en los concursos de matemáticas como IMO de los problemas que enfrentan los estudiantes universitarios y graduados?

Probablemente a la par, o provisiones diferentes. Las preguntas en los concursos están destinadas a extraer respuestas que se derivan más allá de la expectativa de la memorización de memoria y la conexión de fórmulas. Definitivamente están en o por encima del nivel que aprenderían en una clase de matemáticas de secundaria.

> Parece que los trucos y técnicas utilizados para resolver problemas de competencia son muy específicos para los problemas de competencia, y no para investigar matemáticas. ¿Es esto correcto?

Tal vez, pero ser capaz de abordar los problemas a través de diferentes trucos y técnicas no es negativo. La resolución de problemas es mejor cuando ha resuelto otros problemas.

> ¿Existe algún temor a la vergüenza de ser un Ph.D. de matemáticas? ¿Quién no podría resolver los problemas que los estudiantes de secundaria?

Si un Ph.D. de matemáticas tiene esta preocupación, me interesaría saber por qué. Las matemáticas son diversas. Si las preguntas de la OMI no son relevantes, entonces no hay preocupación si no se pueden resolver.