¿Cómo encuentras la serie Taylor de una función logarítmica?
Hay dos formas obvias. Puede conectar las derivadas a la forma general, o puede usar el hecho de que [math] \ ln (1 + x) = \ int_0 ^ x \ frac {dt} {1 + t} [/ math]. ¿Por qué usé [matemáticas] 1 + x [/ matemáticas] (y [matemáticas] 1 + t [/ matemáticas])? Esto es para evitar la singularidad en [math] \ ln (0) [/ math]. No hay series de Taylor para [math] \ ln (x) [/ math] en potencias de [math] x [/ math]. Pero puedes encontrar una serie de Taylor sobre cualquier valor positivo.
El segundo método es fácil, simplemente expanda [math] \ frac1 {1 + t} [/ math] por el binomio (o como una serie geométrica) e integre cada término.
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El primer método tampoco es difícil. La derivada de [matemática] \ ln (x) [/ matemática] es [matemática] \ frac1x [/ matemática] que es [matemática] 1 [/ matemática] cuando [matemática] x = 1 [/ matemática]. La derivada [math] n [/ math] th es … bueno, puedes hacer eso y poner [math] x = 1 [/ math]. Entonces la serie de Taylor es [matemáticas] \ ln (x) = \ ln (1) + a_1 (x-1) + a_2 (x-1) ^ 2 + \ puntos [/ matemáticas] donde la [matemáticas] a_n [/ matemáticas] son coeficientes que debe calcular usted mismo.
Si reemplaza [math] x [/ math] por [math] 1 + x [/ math] obtendrá el formulario al que me referí anteriormente.
Como ejercicio, ahora encuentre la serie de Taylor sobre [matemáticas] x = c [/ matemáticas].
