¿Cómo puedo probar que los números de la forma “n número de 4 seguidos por n-1 número de 8 seguidos por un solo 9 es siempre un cuadrado perfecto” para cada número natural n?

Para [matemáticas] n = 1, 49 = 7 ^ {2} [/ matemáticas]
Para [matemáticas] n = 2, 4489 = 67 ^ {2} [/ matemáticas]
Para [matemáticas] n = 3, 444889 = 667 ^ {2} [/ matemáticas]
y así.

Los valores iniciales muestran un patrón que no solo es el número descrito por usted como un cuadrado perfecto, sino también que la raíz cuadrada es un número con [matemáticas] n-1 [/ matemáticas] seis y un 7 en el lugar de las unidades.

Intentemos probar esto usando el patrón.

Para todas [matemáticas] n> 1 [/ matemáticas], la raíz cuadrada es, según el patrón,
Además, el cuadrado es el número descrito por usted, que es una expresión general, para [math] n [/ math] número de 4:

Ahora, tenemos que verificar si [math] A ^ {2} = B [/ math]

Use la fórmula para la suma de progresiones geométricas, y proceda con álgebra normal, y llegará a esto:

[matemáticas] A ^ {2} = B = \ frac {1} {9} (1 + 4 \ cdot (10 ^ {n} + 10 ^ {2n})) [/ matemáticas]

Por lo tanto, su afirmación se prueba y también se calcula la raíz cuadrada general, dada por [math] A [/ math].

Podemos usar el principio de inducción matemática para probar esto , primero tenemos que generalizar la raíz cuadrada de cada n.
Para n = 1 número es 49 y su raíz cuadrada es 7
Para n = 2 el número es 4489, su raíz cuadrada es 67
Para n = 3 el número es 444889 y su raíz cuadrada es 667
y así..

Podemos ver que el término general para raíz cuadrada es, por lo tanto, 6 [Suma i = 2 a n (10 ^ (i-1))] + 7 (Para n> 1), puede poner valores en el término general para verificar.
Entonces, usando la inducción asumimos que el término general dado es verdadero para el número natural Kth, es decir
6 [Suma i = 2 a K (10 ^ (i-1))] + 7 = 6 (10 ^ 1 + 10 ^ 2 + 10 ^ 3 ……. + 10 ^ k) + 7 es la raíz cuadrada de un número 444 .. (K veces) 88 … (K-1 veces) 9.

Para demostrar que los números de la forma “n número de 4 seguidos de n-1 número de 8 seguido de un solo 9 es siempre un cuadrado perfecto” para cada número natural n, tenemos que demostrar que el término general dado es verdadero para K + 1º número natural siempre que sea cierto para Kth número natural.

Para n = k + 1, tenemos
6 [Suma i = 2 a K + 1 (10 ^ (i-1))] + 7 = 6 (10 ^ 1 + 10 ^ 2 + ……. + 10 ^ k + 10 ^ k + 1) + 7
= {6 (10 ^ 1 + 10 ^ 2 + ……. + 10 ^ k) + 7} + 6.10 ^ (k + 1)
En la ecuación anterior, vemos que los términos entre corchetes son una raíz cuadrada según nuestra suposición y cuando sumamos 6.10 ^ (k + 1), la expresión resultará ser la raíz cuadrada de un número natural n = k + 1 también.

Por lo tanto, para todos los n pertenecen a números naturales, de la forma “n número de 4 seguido de n-1 número de 8 seguido de un solo 9 es siempre un cuadrado perfecto.

Un número de la forma n 4 seguido de (n-1) 8 seguido de 9 es la suma
de un número de la forma 2n 4’s, un número de la forma n 4’s y 1

[matemáticas] s ^ {2} = \ frac {4} {9} * (10 ^ {2n} -1) + \ frac {4} {9} * (10 ^ {n} -1) + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] s ^ {2} = \ frac {4} {9} * 10 ^ {2n} + \ frac {4} {9} * 10 ^ {n} + \ frac {1} {9} [/ matemáticas ]

[matemáticas] 9s ^ {2} = 4 * 10 ^ {2n} + 4 * 10 ^ {n} + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 9s ^ 2 = (2 * 10 ^ {n} + 1) ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3s = 2 * 10 ^ {n} + 1 [/ matemáticas]

La suma de dígitos de [matemática] 2 * 10 ^ n + 1 [/ matemática] es [matemática] 3 [/ matemática],

por lo tanto [matemáticas] 2 * 10 ^ {n} + 1 [/ matemáticas]

es divisible por 3, por lo tanto, [math] s [/ math] es un número entero. QED

[matemáticas] s = \ frac {6} {9} * (10 ^ {n} – 1) + 1 [/ matemáticas]

Comienza por descubrir cuál crees que es la raíz cuadrada, luego prueba que cuando cuadras esa cosa obtienes esta cosa.