Es [matemáticas] 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…. = – 1 [/ matemáticas]?

[matemáticas] 1 + 2 + 4 + \ puntos = -1 [/ matemáticas] en los números p-adic como explicó Dan, pero también puede hacer que funcione en los números reales ordinarios de una manera razonable. Esto es un poco complicado, así que abróchate el cinturón.

Lo primero que debes entender es que definir la suma de una serie finita de números no te da una definición para la suma de una serie infinita de números. Eso es algo que debe agregarse por separado, y por varias razones, decidimos que definir la suma de una serie como el límite de las sumas parciales es una muy buena manera de hacerlo. Si ese límite existe, llamamos a la serie convergente; de lo contrario, lo llamamos divergente.

Sin embargo, hay ciertos problemas en la física matemática en los que sería muy conveniente asignar una suma a una serie cuyas sumas parciales no convergen. A primera vista, esto puede parecer una tontería, pero también lo son muchos otros conceptos matemáticos, y algunos de ellos resultan útiles. ¿Por qué no probar esto?

Como resultado, no hay una forma natural de definir la suma de una serie divergente, pero hay propiedades que cualquier método de asignación de una suma debería tener:

1. Si la serie es convergente, cualquiera de los dos métodos debe asignarle su suma ordinaria.
2. La suma de una combinación lineal de dos series debe ser la combinación lineal de las sumas.
3. La suma de la serie [math] \ {a_i \} _ {i = 1} ^ \ infty [/ math] debe ser igual a [math] a_1 [/ math] más la suma de la serie [math] \ {a_i \} _ {i = 2} ^ \ infty [/ math].

Cualquier cosa que tenga estas tres propiedades se dice que es un método de suma razonable.

El método de suma particular que es relevante aquí se conoce como continuación analítica. En resumen e ignorando algunos detalles, si una función que envía números complejos a números complejos es lo suficientemente fluida en algún conjunto abierto [matemática] U [/ matemática], entonces puede extenderse de manera única a una función uniforme similar en cualquier conjunto abierto [matemática ] V [/ math] que contiene [math] U [/ math]. La serie de potencia [matemática] \ sum_ {i = 0} ^ \ infty x ^ i [/ matemática] converge a [matemática] \ frac {1} {1 – x} [/ matemática] siempre que [matemática] | x | <1 [/ math], y es lo suficientemente suave, por lo que podemos definir su suma como la misma función en todo el plano complejo (excepto el punto [math] x = 1 [/ math]).

Entonces ese es el sentido en el que [matemática] \ sum_ {i = 0} ^ \ infty 2 ^ i = -1 [/ matemática] en los números reales ordinarios. Sin embargo, debe especificar que está utilizando un método de suma para series divergentes; no es algo que puedas asumir que todos entenderán automáticamente.

Como punto de trivia, la teoría de las series divergentes fue una gran parte de lo que Hardy y Ramanujan trabajaron durante su colaboración en Cambridge.

Supongo que el resultado del que estás hablando va en la línea de:
Deje 1 + 2 + 4 +… = N
Entonces N = 2N + 1, entonces N = -1.

El problema es que cuando dice que sea igual a N, está asumiendo implícitamente que es un número natural y, por lo tanto, puede manipularse como tal. De hecho, este no es el caso y se descompone en absurdo. Lo que he escrito anteriormente no muestra que 1 + 2 + 4 + … = -1, muestra que el valor de esa suma no puede tratarse como un número natural.

Como sé, esta ecuación, de hecho, significa [matemática] 1 + 2 + 4 +… = (divergente \ parte) + (- 1) [/ matemática]

El resultado de la suma se puede dividir en dos partes, una parte es la parte divergente que causa la divergencia de la suma y la otra es la parte convergente que es finita. Como [matemática] 1 + 2 + 4 +… + 2 ^ n = 2 ^ {n + 1} -1 [/ matemática], la suma [matemática] 1 + 2 + 4 +… [/ matemática] es igual a [matemática ] \ lim_ {n -> \ infty} 2 ^ {n + 1} -1 [/ math]. El término de limitación es la parte divergente y [math] -1 [/ math] es la parte convergente.

En física, para calcular algunas cantidades físicas, necesitamos hacer la suma de varias series divergentes. Pero debido a que el resultado es el valor de alguna cantidad física (debe ser un número finito), la suma de esas series debe ser convergente, es decir, todas las partes divergentes de cada serie deben cancelarse entre sí, o esas partes divergentes pueden explicarse como algo de fondo Por lo tanto, bajo esta circunstancia, la parte divergente en cada serie no es importante y luego se omite.

Entonces, de hecho, la suma es igual a [matemática] (divergente \ parte) + (- 1) [/ matemática] y la parte divergente es [matemática] \ lim_ {n -> \ infty} 2 ^ {n + 1} [/matemáticas].

Definitivamente no.

Este es solo otro mal uso de la continuación analítica para pretender que una serie no convergente es de alguna manera convergente cuando claramente no lo es.

Tome la serie [matemáticas] f (z) = z ^ 0 + z ^ 1 + z ^ 2 +… [/ matemáticas]. Esta serie converge cuando [math] | z | <1 [/ math] pero no de otra manera.

En el dominio complejo, podemos hacer una continuación analítica de [math] f (z) [/ math] que llamaré [math] g (z) [/ math] y su fórmula es:

[matemáticas] g (z) = \ frac {1} {1-z} [/ matemáticas].

Esto produce una función ‘suave’ sobre todo el dominio complejo (con una singularidad en [math] z = 1 [/ math]) y podemos afirmar que [math] f (z) = g (z) [/ math] con la muy importante condición de que [matemáticas] | z | <1 [/ matemáticas].

La serie en la pregunta es simplemente [matemáticas] f (2) [/ matemáticas]. Pero sabemos que esta serie es divergente y, por lo tanto, el valor de [math] f (2) [/ math] es indefinido (o infinito en algún sentido).

Sabemos que [math] g (2) = – 1 [/ math] pero es incorrecto escribir que [math] f (2) = g (2) [/ math]. porque [math] f (2) [/ math] no está definido.

Lo que podemos hacer es definir una alternativa a [matemáticas] f [/ matemáticas], digamos [matemáticas] f ^ * [/ matemáticas], de una manera diferente:

[matemáticas] f ^ * (z) = \ begin {cases} z ^ 0 + z ^ 1 + z ^ 2 +… & \ text {if $ | z | <1 $} \\ \ frac {1} {1 -z} & \ text {de lo contrario} \ end {cases} [/ math]

Pero recuerde, las dos funciones [matemática] f [/ matemática] y [matemática] f ^ * [/ matemática] NO son las mismas (aunque [matemática] f ^ * [/ matemática] ES la misma función que [matemática] g [/matemáticas]).

Al afirmar que [math] f (2) = – 1 [/ math] lo que has hecho es redefinir [math] f [/ math] (ten en cuenta que [math] f ^ * [/ math] es solo una posibilidad, pero una muy agradable) [math] f ^ * (2) [/ math] no dice nada sobre ninguna serie de potencias mientras que [math] f (2) [/ math] definitivamente dice que la serie no converge.

La serie de potencia en la pregunta ni siquiera es “condicionalmente convergente”. Una serie condicionalmente convergente se puede reorganizar para converger a cualquier número que elija. La serie en la pregunta no puede. No es convergente de ninguna manera, no importa cómo lo reorganice. Es una serie divergente y su suma no está definida; en el mejor de los casos, podría concluir que su suma es infinita en algún sentido.

Sí, en cierto sentido de suma, con los números p-adic. Básicamente, generalmente definimos la suma para números finitos de cosas. Hacer que se aplique a números infinitos requiere generalizarlo de formas que no se correspondan con nuestra intuición simple, porque está basado en sumas finitas.

Este video es, con mucho, la mejor explicación simple que he visto del concepto, por favor échale un vistazo.

Deje S = 1 + 2 + 4 + 8 + ……

S = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + ……… ..)

S = 1 + 2S

-S = 1

S = -1

Gracias Rohit Sharma, cuando respondí esta pregunta había aprendido GP, así que pensé en aplicarlo. Ahora debería estar bien.

Una forma de entender este tipo de pseudo-sumatoria es interpretar los términos como elementos en una serie de potencias: definir la “función generadora”

[matemáticas] f (x) = 1 + 2x + 4x ^ 2 + 8x ^ 3 + 16x ^ 4… [/ matemáticas]

Esta serie converge si [math] | x | <\ frac {1} {2} [/ math] y se le puede dar una forma cerrada:

[matemáticas] 2xf (x) + 1 = f (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = \ frac {-1} {2x-1} [/ matemáticas]

Esto se puede extender a todos [math] x \ neq \ frac {1} {2} [/ math] incluyendo [math] x = 1 [/ math].

Es fácil probar este concepto, matemáticamente. Pero lo difícil es concebir el concepto.

la suma de los primeros x números en la serie 1 … 2 ^ x, no es más que 2 ^ (x + 1) – 1

por ejemplo, la suma de 1, 2 no es más que 4 – 1

suma de 1,2,4,8,16,32 no es más que 64-1

entonces la suma de la serie es siempre -1 del siguiente elemento de la serie. entonces la ecuación realmente implica que la suma de las series 1, 2, 4, 8, …… es 1 menor que la del siguiente número de la serie.

Como desarrollador de software, utilizo este concepto con bastante frecuencia.

3 no es más que -1 (O 4 – 1), en un valor entero de 2 bits; que es 1 + 2

255 no es más que -1 (O 256-1), en un valor entero de 8 bits; que es 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128

Y así.

http://www.google.com/divergentseries Supongamos que 1 + 2 + 4 + 8 + …… .. equivale a un no real. S

Entonces, la serie también se puede escribir como 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8… ..)

Por lo tanto, 1 + 2.S = S [Sustituyendo S en lugar de (1 + 2 + 4 + 8 +….)]

o, 1 = S-2.S

o, 1 = -1.S

por lo tanto, S = -1

es decir, 1 + 2 + 4 + 8 +… .. = – 1

La respuesta es correcta y puede confiar en ella porque si desea resolver la suma de cualquier serie infinita, simplemente tome el segundo o tercer término en común y verá que el resto de la serie (después de tomar en común) se repite y entonces siempre puedes asumir que es S (como en este caso) y resolver la suma. Espero que te haya ayudado. Gracias.

Bueno, este es el complemento de los dos a la conclusión lógica. La idea es que una computadora no puede manejar un signo y tiene un espacio limitado y representa números con un número fijo [matemática] n [/ matemática] de símbolos binarios que [matemática] 0 [/ matemática] hasta [matemática] 2 ^ {n-1} -1 [/ math] (esto significa que el primer bit es 0) representa bien [math] 0 [/ math] hasta [math] 2 ^ {n-1} -1 [/ math] pero [matemática] 2 ^ {n-1} [/ matemática] hasta [matemática] 2 ^ n [/ matemática] (el primer bit es 1) representa [matemática] -2 ^ {n-1} [/ matemática] a [ matemáticas] -1 [/ matemáticas].

Pero si hay infinitos dígitos (binarios) lo explicaré de esta manera:

Como debe saber [matemáticas] 0.999 \ ldots = 1 [/ matemáticas].

Prueba: [matemática] 0.999 \ ldots = x [/ matemática] Podemos decir [matemática] 10x = 9.999 \ ldots [/ matemática] Pero esto no es más que [matemática] 9 + x = 10 \ implica x = 1 [/ matemática ]

Ahora con el mismo truco puedes mostrar que [math] \ ldots999 = -1 [/ math]

Ahora de nuevo [math] \ ldots999 = y [/ math] luego [math] 10y = \ ldots 990 [/ math] pero de lo que tenemos [math] 10y + 9 = y \ implica y = -1 [/ math]

(Del mismo modo, podría mostrar que [math] \ ldots999.999 \ ldots = 0 [/ math])

pero lo bueno es que funciona para cualquier base [matemática] b [/ matemática] con el número más grande [matemática] b-1 [/ matemática]

Entonces puede ver que [matemáticas] (\ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {- 1} (b-1) \ times b ^ n) \ times b = (b-1) + \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {- 1} (b-1) \ times b ^ n [/ math] así que cuando decimos [math] \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {- 1} ( b-1) \ times b ^ n = x [/ math] tenemos [math] b \ times x = (b-1) + x \ to x \ times (b-1) = (b-1) \ to x = 1 [/ matemáticas]

y similares [matemáticas] (b-1) + (\ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} (b-1) \ times b ^ n) \ times b = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} (b-1) \ times b ^ n [/ math] así que cuando [math] \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} (b-1) \ times b ^ n = y [/ math] entonces tenemos [math] (b-1) + y \ times b = y \ to b-1 = yy \ times b \ to b-1 = y \ times (1-b) \ to y = \ frac {b-1} {- (b-1)} = – 1 [/ matemáticas]

esto significa también para [matemáticas] b = 2 [/ matemáticas].

TL: DR: De alguna manera sí, puedes probarlo matemáticamente (ver arriba).

Si. mira esto:

wordpress.com
Método general para sumar series divergentes. Determinación de límites de secuencias y funciones divergentes en puntos singulares v2

No.