El espacio euclidiano N-dimensional y los espacios de Fock son ejemplos de espacios de Hilbert. El espacio de Hilbert es una abstracción. Los espacios de Hilbert son espacios vectoriales con un producto interno que induce una norma completa (es decir, la norma definida por [math] \ | x \ | = (\ langle x, \ rangle) ^ \ frac {1} {2} [/ math] ) El espacio euclidiano N-dimensional es definitivamente un espacio vectorial y tiene el producto punto como producto interno. La norma euclidiana es inducida por este producto interno, y es trivialmente completa ya que el espacio es de dimensión finita.
Fock space es un poco más emocionante. La idea es comenzar con un espacio de Hilbert [matemática] H [/ matemática] donde pueda modelar un sistema de partículas individuales. Luego tomamos los poderes tensoriales de este espacio de Hilbert para modelar sistemas con más partículas. El álgebra tensorial [matemática] T (H) [/ matemática] de [matemática] H [/ matemática] es la suma directa de los productos tensores plegables [matemática] n [/ matemática] para cada [matemática] n [/ matemática ]: [matemáticas] \ oplus_ {n = 0} ^ \ infty H ^ {\ otimes n} [/ matemáticas]. Aquí [math] H ^ {\ otimes 0} [/ math] se entiende como un subespacio unidimensional atravesado por un vector unitario [math] \ Omega [/ math] llamado vector de vacío ya que representa un sistema sin partículas . Todavía nos falta un producto / norma interna en [matemáticas] T (H) [/ matemáticas]. Denotaremos el producto interno en [math] H [/ math] por [math] \ langle, \ rangle_H [/ math]
El producto interno más fácil que podemos poner en [matemáticas] T (H) [/ matemáticas] es simplemente
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[matemáticas] \ langle k_1 \ otimes k_2 \ otimes \ cdots k_m, h_1 \ otimes h_2 \ otimes \ cdots h_n \ rangle_f = \ delta_ {mn} \ prod_ {j = 1} ^ n \ langle k_j, h_j \ rangle_H [/ matemáticas]
El espacio completo de Fock [matemática] F (H) [/ matemática] es la finalización de [matemática] T (H) [/ matemática] con respecto a la norma inducida por este producto interno.
Hay otros dos productos internos que producen espacios Fock bien conocidos, pero la construcción es un poco más complicada. Deje [math] S_n [/ math] denotar el grupo simétrico en [math] n [/ math] caracteres (el conjunto de todas las permutaciones del conjunto de n elementos). Deje que [math] sgn (\ sigma) [/ math] denote el signo de una permutación [math] \ sigma [/ math]. Entonces podemos poner dos productos preinner diferentes en [math] T (H) [/ math].
- [matemáticas] \ langle k_1 \ otimes \ cdots \ otimes k_m, h_1 \ otimes \ cdots \ otimes h_n \ rangle_s = \ delta_ {mn} \ sum _ {\ sigma \ en S_n} \ prod_ {j = 1} ^ n \ langle k_j, h _ {\ sigma (j)} \ rangle_H [/ math]
- [matemáticas] \ langle k_1 \ otimes \ cdots \ otimes k_m, h_1 \ otimes \ cdots \ otimes h_n \ rangle_a = \ delta_ {mn} \ sum _ {\ sigma \ en S_n} sgn (\ sigma) \ prod_ {j = 1 } ^ n \ langle k_j, h _ {\ sigma (j)} \ rangle_H [/ math]
Aquí [math] s [/ math] significa simétrico y [math] a [/ math] significa antisimétrico. Ambos son productos preinner ya que, por ejemplo,
[matemáticas] \ langle k_1 \ otimes k_2 – k_2 \ otimes k_1, k_1 \ otimes k_2 – k_2 \ otimes k_1 \ rangle_s = 0 [/ math]
De manera similar, se puede verificar que [math] k_1 \ otimes k_2 + k_2 \ otimes k_1 [/ math] tiene una longitud cero en el caso antisimétrico. Entonces, para hacer que [math] \ langle, \ rangle_s [/ math] y [math] \ langle, \ rangle_a [/ math] se conviertan en productos internos adecuados, tenemos que cocer por los elementos de longitud cero: [math] T_s (H) = T (H) / \ {x | \ langle x, x \ rangle_s = 0 \} [/ math] y [math] T_a (H) = T (H) / \ {x | \ langle x, x \ rangle_a = 0 \} [/ math]. En cada caso, probablemente no parece obvio que el espacio [matemáticas] \ {x | \ langle x, x \ rangle_s \} [/ math] debe ser un subespacio lineal de [math] T (H) [/ math] y, por lo tanto, puede tomar un cociente. Que estos espacios están cerrados bajo la multiplicación escalar es bastante fácil. Para mostrar que están cerrados bajo la adición de vectores es más complicado: Usar la ley de paralelogramo [matemáticas] 2 \ | x \ | _s ^ 2 + 2 \ | y \ | _s ^ 2 = \ | x + y \ | _s ^ 2 + \ | x -y \ | _s ^ 2 [/ math], podemos ver que si [math] x [/ math] y [math] y [/ math] tienen una longitud [math] 0 [/ math], entonces [ matemática] x + y [/ matemática] y [matemática] xy [/ matemática] cada uno tiene longitud [matemática] 0. [/ matemática] El mismo argumento funciona en el caso antisimétrico.
Así que ahora podemos completar cada espacio [matemática] T_s (H) [/ matemática] y [matemática] T_a (H) [/ matemática] con sus respectivas normas definidas por sus respectivos productos internos y obtenemos dos espacios Fock [matemática] F_s (H) [/ math] y [math] F_a (H) [/ math], los espacios Fock simétricos (o bosónicos) y antisimétricos (o fermiónicos).
Los espacios fock tienen estructuras ricas e interesantes. Todos vienen con un operador particular (ilimitado) [matemática] N [/ matemática] que se define simplemente por [matemática] N (k_1 \ otimes \ cdots \ otimes k_n) = n k_1 \ otimes \ cdots \ otimes k_n [/ matemática ] Como era de esperar, este operador se llama operador de número (de partículas). Todos los espacios de Fock también vienen con operadores de creación y anulación correspondientes a cada elemento en el espacio de Hilbert subyacente. Estos generan todo tipo de álgebras interesantes de operadores, desde álgebras de Clifford hasta álgebras de Cuntz y álgebras de Toeplitz.
