Al calcular una derivada direccional utilizando el producto escalar con el gradiente, ¿el vector direccional debe ser un vector unitario?

Lo nombraste, dirección . Puede calcular perfectamente [math] \ mathrm {D} _ {\ Large u} f (a) [/ math] si [math] u [/ math] no es un vector unitario, pero eso no coincidiría con el ” derivada clásica ”.

Si [math] f [/ math] es una función numérica y [math] e_x [/ math] algún vector de base ortonormal, entonces [math] \ mathrm {D} _ {\ Large e_x} f (a) [/ math] es exactamente [math] \ dfrac {\ partial f} {\ partial x} (a) [/ math]. Por lo tanto, queremos algo tan significativo como esto al calcular derivados direccionales en otras direcciones. Recuerde que la derivada direccional es lineal en la dirección, por lo que para [math] u = \ | u \ | \ widehat {u} [/ math], tenemos [math] \ mathrm {D} _ {\ Large u} f (a) = \ | u \ | \ mathrm {D} _ {\ Large \ widehat {u}} f (a) [/ math].

Si lo hace

Sin embargo, es más una convención que una necesidad matemática. Permite comparar diferentes magnitudes del gradiente si lo puntea con un vector con la misma magnitud, independientemente de cuándo lo esté haciendo. La magnitud del vector debe ser 1 para preservar la magnitud del gradiente.

Las direcciones son vectores unitarios, y así, tradicionalmente, las derivadas direccionales son con respecto a los vectores unitarios. Sin embargo, el álgebra funciona bien si no son vectores unitarios, y hay una buena interpretación en ese caso.

Si [math] \ mathbf v [/ math] es un vector en un espacio de producto interno, como [math] \ mathbf R ^ n [/ math] con el producto interno habitual (producto de puntos), entonces la derivada direccional con respecto a [math] \ mathbf v [/ math] se puede definir como

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle D _ {\ mathbf v} \, f (\ mathbf a) = \ nabla \, f (\ mathbf a) \ cdot \ mathbf v [/ math]

Si [math] \ mathbf v [/ math] es un vector unitario, esto da la tasa de cambio en la dirección [math] \ mathbf v [/ math]. Ya sea que se trate o no de un vector unitario, esto proporciona la tasa de cambio instantánea de la función [math] \, f [/ math] de un punto en movimiento que pasa por el punto [math] \ mathbf a [/ math] con la velocidad [ math] \ mathbf v [/ math].

Tenga en cuenta que la derivada parcial [math] \ dfrac {\ partial} {\ partial x} \, f (\ mathbf a) [/ math] es la misma que la derivada direccional en la dirección [math] \ mathbf u = (1 , 0, \ ldots, 0) [/ math] con [math] 0 [/ math] ‘s en todas las coordenadas excepto la primera.

Puede definir [math] \ displaystyle D _ {\ mathbf v} \, f (\ mathbf a) [/ math] incluso si no tiene un producto interno en su espacio vectorial con la definición más fundamental como límite

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle D _ {\ mathbf v} \, f (\ mathbf a) = \ lim_ {h \ to0} \, \ frac {f (\ mathbf a + h \ mathbf v) -f (\ mathbf a)} h. [/ matemáticas]

No estoy seguro de cómo se define la “derivada direccional”. Si desea centrarse en el cambio direccional de un vector, tiene sentido corregir su amplitud. Convertirlo en un vector unitario es una forma de hacerlo. También puede convertirlo en un vector de amplitud constante, sea cual sea la amplitud. Sin embargo, la derivada resultante (Delta-v / Delta-t) puede necesitar ser normalizada por la amplitud del vector, dependiendo de la definición de “derivada direccional”.