Los cuartos en 4d son ‘rotaciones de clifford’, o movimientos paralelos.
Veamos primero CE2 (complejo-euclidiano de 2 espacios). Funciona como la geometría analítica ordinaria de 2d, pero en lugar de reales, coloca números complejos. Una línea, por ejemplo, es y = ax + b, pero aquí a, b, x, y son todos números complejos o un espacio 2d. Es un CE1 o un diagrama y un diagrama por derecho propio.
Dos líneas se cruzan en un punto, entonces x = a, y = b define un CE0 o punto.
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Considere ahora la matriz de líneas a través de (0,0). Obtienes y = ax. Pongamos w como un valor circulante cis (\ omega t). En otras palabras, w gira alrededor del centro como una manecilla de reloj.
Entonces obtenemos yw = axw, que todavía está en la misma línea que y = ax, ya que las w se cancelan. Entonces, lo que tiene es para cualquier punto en el espacio, (x, y) puede orbitar rígidamente el centro del CE2 o CE3 o CE4, etc.
Ninguno de estos círculos se cruza. ¡Durante toda la rotación, la pendiente de cualquier línea permanece sin cambios! Lo que haremos ahora es construir a partir de a, la media esfera de rotaciones.
Suponemos que el diagrama de argumento y está en el plano A = (ar, ai, 0). donde ar y ai son las partes reales e imaginarias de a. Ahora colocamos una “esfera de pendientes” cuyo diámetro es (0,0,0) a (0,0,1). Proyectamos el plano A sobre esta esfera dibujando la línea (ar, ai, 0) a (0,0,1), y mapeamos el punto donde más cruza la esfera. (0,0,1) es el plano x = 0, cuya pendiente es infinita.
Las líneas que son ortogonales entre sí son diametrales. Es decir, cualquier radio de un círculo es ortogonal a cualquier radio del otro. El círculo en esta esfera más cercano a un punto, representa un cilindro largo envuelto alrededor de un gran círculo, cuando despliegas este cilindro, los círculos en él corren diagonalmente como un rizo izquierdo.
Ahora colocamos el par de puntos CE2 (1, i) (1, i) en Q1 (1, i, j, k), y lo que hemos descrito es la “multiplicación izquierda” de los cuartos.
Hay un conjunto completo de círculos en curva derecha, que es la imagen especular.
El quaterion como un punto en 4 espacios, es la representación de una rotación que convierte (1,0,0,0) a ese punto. Si la multiplicación es posterior, la rotación es una rotación a la derecha.
Una rotación simple de ‘rueda’, donde dos ejes están fijos, está representada por aIb, donde a y b son rotaciones de intensidad unitaria a izquierda y derecha.
La “esfera de pendientes” está en 4d, la esfera de radio unitario entre (1,0,0,0) y (-1,0,0,0), es decir, sin coordenada real.
