Consideremos un ejemplo para tratar de darle a esto un significado físico un poco más preciso. Supongamos que tenemos un campo vectorial,
F = – y i + x j ,
cuál es el campo de velocidad de un fluido con densidad 1. Esto significa que F tiene unidades de velocidad, digamos m / s, y la densidad está en masa / volumen, digamos kg / m3.
Ahora, si preguntamos “la cantidad de fluido que pasa a través de la superficie”, que “la masa pasa por unidad de tiempo”, es decir, masa / tiempo, por ejemplo, kg / s.
figura 1 : una superficie y el flujo a través de ella.
Entonces, ¿cómo conseguimos esto? Obtenemos masa de densidad por volumen. El volumen será la velocidad multiplicada por el área de superficie de la superficie, lo que da el volumen de fluido que atraviesa la superficie por segundo.
Para entender esto más claramente, suponga que el campo de velocidad es constante: digamos,
F = 2 j ,
un flujo constante en la dirección j. Luego piense en un cuadrado de 1 × 1 en el plano xz : en 1 segundo, las partículas de fluido que están en el cuadrado de 1 × 1 se habrán movido 2m hacia la derecha, formando el borde exterior del volumen de fluido que ha atravesado el superficie. Esto se muestra en la figura a la derecha. El volumen que ha pasado a través de la superficie es, por lo tanto, 2x1x1 = 2 m3.
Entonces, el volumen de fluido que pasa a través de la superficie es (velocidad perpendicular a la superficie) (área de superficie). Por lo tanto, el flujo a través de un pequeño parche de área de superficie, dS , es
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Aquí, N es una unidad normal. Si la superficie se da paramétricamente como r ( u , v ), entonces:
Por lo tanto, la masa diferencial / segundo que pasa a través del pequeño parche de superficie dado por dS es
FN ds = F. ru x rv dudv
Por supuesto, para el caso de la figura 1 es aún más fácil que eso: el vector normal es N = j , y porque dS es solo un área en el plano xz , dS = dx dz .
Esto da lo que llamamos la superficie intergal del campo sobre la superficie. Definimos
para que podamos escribir el flujo como la primera expresión en la definición en la primera ecuación de la página. Esto es directamente análogo a lo que hicimos con las integrales de línea, diciendo que
