Digamos que tenemos una función de variables complejas z = x + iy y w = u + iv : w = w (z) .
Los ceros son valores de z para los cuales w (z) = 0.
Los polos son valores de z para los cuales w (z) no está definido (o infinito).
Esta definición es solo desde el punto de vista del plano z complejo , la “entrada”. ¿Qué pasa con el comportamiento desde el punto de vista del plano w , la “salida”? ¿O mejor aún, del espacio (z, w) ?
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De hecho, w = w (z) es un objeto, una variedad , en el espacio complejo C ^ 2 = (z, w), digamos una “curva lineal = 1D” en el espacio 2D complejo. Traducido a los reales: una “superficie 2D” en el espacio real 4D R ^ 4 = (x, y, u, v). Por lo tanto, aunque estamos discutiendo aquí ” curvas y líneas complejas “, usaré los términos geométricos (reales) “superficies y planos” .
Un cero es un valor zN para el cual wN = w (zN) = 0. Entonces el punto (zN, wN) = (zN, 0) pertenece a la superficie de la función. No voy a entrar en detalles, pero las siguientes características son interesantes:
Un punto N = (zN, wN) es la intersección de la superficie de la función con un plano
z = zN.
Pero lo mismo es cierto con un plano w = wN.
Y también lo es la intersección de estos planos con el plano tangente a la superficie,
w – wN = a (z – zN), donde a = w ‘(zN), la derivada de w en el punto N.
Entonces, las funciones analíticas y los planos analíticos (funciones w = az + b) se cruzan generalmente en un solo punto , ¡nunca a lo largo de una línea o curva (a menos que coincidan)!
Un polo es un valor zP para el cual no hay wP = w (zP) definido, o en el vecindario del cual w corre hasta el infinito.
Ahora, mientras que la vecindad de un cero corre todo y suavemente en el punto cero “desde todas las direcciones” (como se ve en los planos complejos tanto z como w), la vecindad de un punto polar corre hacia el infinito a lo largo de todas las direcciones del plano w , mientras se acerca al poste desde todas las direcciones en el plano z . Esto significa que el plano z = zP (paralelo al plano w z = 0) es un plano de asíntota a la superficie de la función.
Finalmente, los polos no son las únicas asíntotas posibles para una función w = w (z):
w y z pueden correr hasta valores infinitos juntos, a lo largo de una “dirección” compleja dada a. En ese caso, la asíntota sería un plano w = az + b. Por último, también un plano z-paralelo w = constante puede ser una asíntota: z corriendo al infinito “en todas las direcciones” mientras w se acerca al valor constante “de todas las direcciones”.
Como ejemplo, tome la función w = 1 / z. El polo z = 0 es un plano de asíntota (w hasta el infinito), pero también w = 0 es un plano de asíntota (z hasta el infinito). La función es en realidad el “círculo-hipérbola” que he discutido y mostrado en varias otras preguntas.
(mis términos w = Y, z = X):
Ver también
La respuesta de Guido Wuyts a ¿Se considera que [math] z \ mapsto 1 / z [/ math] tiene un polo en cero cuando se ve como una función en el plano complejo extendido?
Gráficos de funciones más complejas en mis sitios
QB-Complex y
Visualización de wugi de funciones complejas – YouTube
