Esto en realidad no es cierto. Un ejemplo de contador simple y bien conocido es el campo [math] \ textbf {V} [/ math] definido en [math] \ mathbb {R} [/ math] [math] ^ 3 / \ {0 \} [/ matemáticas] como
[matemáticas] \ textbf {V} = (\ dfrac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}, \ dfrac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}, \ dfrac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}) [/ math]
Este campo vectorial es libre de divergencia, pero no es el rizo de ningún campo vectorial. Puede expresar un campo vectorial solenoidal [math] \ textbf {F} [/ math] como el rizo de otro campo solo si el campo [math] \ textbf {F} [/ math] está definido en un subconjunto contraíble de [math ] \ mathbb {R} [/ math] [math] ^ 3 [/ math] (intuitivamente lo que esto significa es que ese espacio en el que se define la función no tiene “agujeros” o “aberturas” para que pueda colapsar lentamente todo el espacio a la vez hasta un punto).
- ¿Existe realmente una persona de 'física' o 'matemática'? ¿Cómo puedo mejorar en ingeniería si naturalmente no sobresalgo en eso?
- ¿Cuál es la explicación de un laico del significado de la hiperesuperficie en esta imagen?
- El peso unitario del acero es d cuadrado / 162. ¿Cómo se deriva?
- ¿Cómo realizan los electrones los cálculos matemáticos?
- ¿Por qué las matemáticas, que son fundamentalmente abstractas, describen tan bien el mundo físico no abstracto?
Esta es la esencia del Lema de Poincaré para formas diferenciales. De hecho, el hecho de que algunos campos vectoriales solenoidales no tengan potencial vectorial es el punto de partida de la cohomología y la topología algebraica de De Rham.
Ahora bien, si el campo vectorial que está estudiando está definido en un espacio contraíble (y es integrable al cuadrado), resulta que siempre puede descomponerlo en un gradiente y una parte de rizo “libre de divergencia”. Esto es consecuencia de un famoso teorema en geometría diferencial llamado Teorema de descomposición de Helmholtz.
Esto significa que todos los campos vectoriales suaves en [math] \ mathbb {R} [/ math] [math] ^ 3 [/ math] que se descomponen suficientemente rápido en el infinito se pueden escribir como una suma
[matemáticas] \ textbf {V} = \ nabla \ phi + \ nabla \ times \ textbf {A} [/ matemáticas]
donde is [math] \ phi [/ math] es un campo escalar suave (a menudo llamado potencial escalar y [math] \ textbf {A} [/ math] es un campo vectorial suave (llamado potencial vectorial).
Si el campo vectorial [math] \ textbf {V} [/ math] está libre de divergencia, es decir, [math] \ nabla \ cdot \ textbf {V} = 0 [/ math] en todas partes, se puede demostrar que esto fuerza [math] \ phi [/ math] será [math] 0 [/ math], dejando solo una parte de rizo.
