El tono despectivo de algunas otras respuestas no está justificado. La raíz cuadrada de la masa de la tierra es una cantidad perfectamente significativa, en el mismo sentido que la masa de la tierra, el volumen de la tierra o cualquier otra cantidad dimensional.
Por supuesto, la raíz cuadrada de una masa necesita una unidad. Como lo hacen la mayoría de las otras cantidades en física. La unidad SI para ello es [math] \ text {kg} ^ {\ frac {1} {2}} [/ math] (así como la unidad de masa es [math] \ text {kg} [/ math ]). Y en unidades SI, la raíz cuadrada de la masa de la tierra es [matemática] 2.4 \ veces 10 ^ {12} \ text {kg} ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemática].
Pero la presencia de unidades de ninguna manera hace que la cantidad carezca de sentido: la mayoría de las cantidades en física son dimensionales. Tendría poco sentido decir que la masa de la tierra no tiene sentido, la carga de un ion o la fuerza de la gravedad local.
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Además, preguntas como “qué tan grande” se pueden formular y responder perfectamente sobre las raíces cuadradas de la masa de la tierra, independientemente de la elección de las unidades. La raíz cuadrada de la masa de la tierra siempre será aproximadamente 574 veces más pequeña que la raíz cuadrada de la masa del sol, y aproximadamente 21 veces más grande que la raíz cuadrada de la masa de Plutón, sin importar las unidades que uses.
Si las personas se sienten incómodas con el sistema SI, incluso podríamos poner la raíz cuadrada de la masa de la tierra en el sistema de “unidades naturales” de Planck: ahora la unidad es la raíz cuadrada de la masa de Planck: así que en estas unidades naturales , la raíz cuadrada de la masa de la tierra es [matemática] 1.65 \ veces 10 ^ {16} (\ frac {\ hbar c} {G}) ^ {\ frac {1} {4}} [/ matemática].
Luego, otras respuestas continúan diciendo que esta cantidad no solo no tiene sentido, sino que también es inútil .
Pero esto tampoco es cierto: la raíz cuadrada de la masa es una cantidad que surge naturalmente en toda la mecánica orbital. Por ejemplo, aquí está la tercera ley de Kepler para órbitas elípticas (en el caso de que un cuerpo sea mucho más pesado que el otro).
[matemáticas] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {GM}} [/ matemáticas]
Donde [matemática] a [/ matemática] es la longitud del eje semi-mayor de la órbita, [matemática] G [/ matemática] es la constante gravitacional de Newton, y [matemática] M [/ matemática] es la masa de la gran cuerpo. (Todas estas cantidades vienen acompañadas de unidades). Para mayor claridad, aquí hay un diagrama que muestra el eje semi-mayor de una elipse.
Considere el sistema tierra-luna en esta aproximación: y vemos que el período orbital de la luna es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa de la tierra. Esta cantidad es tan importante en nuestras vidas que le damos un nombre a este período: un mes lunar. Del mismo modo para cualquier otro pequeño satélite de masas alrededor de la tierra. ¿Cuánto más útil quieres?
En cuanto a lo grande que es, ciertamente es mucho más grande que las raíces cuadradas de las masas de la mayoría de los objetos que encontramos día a día. Pero es más pequeño que las raíces cuadradas de las masas con las que tratamos una vez que miramos las estrellas o los sistemas de estrellas. Sin embargo, diría que es bastante grande: en nuestra vida cotidiana, es la raíz cuadrada dominante de masa que vemos a nuestro alrededor.
