¿Qué piensan los matemáticos de la falta de rigor que a veces ocurre en los cálculos de la física? (por ejemplo, la forma en que la física trata los diferenciales)

Mi impresión es que los físicos a menudo obtienen respuestas consistentes, a pesar de solo dar lo que los matemáticos podrían llamar un ‘argumento de plausibilidad’, porque los cálculos pueden hacerse rigurosos en un contexto que incluye las aplicaciones que el físico tiene en mente. Es solo que el contexto matemático y la generalidad de los principios a los que se recurre a menudo no se mencionan explícitamente ni son conocidos por el autor. Por ejemplo, gran parte del hocus-pocus que ves manipulando series infinitas puede hacerse perfectamente legítimo si la serie es absolutamente convergente. Si no es así, el enfoque ingenuo rápidamente conduce a inconsistencias, pero una serie ‘lo suficientemente agradable’ a menudo aún se puede manejar adecuadamente con métodos más sofisticados, como la continuación analítica. (La diferencia es que ahora ya no estás trabajando con la serie en sí misma, sino con una función para la cual la serie que pensaste primero es una expansión válida absolutamente convergente en alguna región abierta en el plano complejo). Probablemente un Una proporción significativa de físicos teóricos hoy en día conoce al menos la idea básica de la continuación analítica y cómo usarla adecuadamente, pero el mismo tipo de historia se generalizaría a métodos más avanzados / nuevos que, en principio, son necesarios para hacer rigurosamente los cálculos cada vez más ambiciosos que los físicos quieren hacerlo, pero en la práctica no son ampliamente conocidos por los físicos (o incluso por los matemáticos, que es otra razón por la cual los cálculos de los físicos pueden ser tan desconcertantes para el matemático puro promedio).

Los matemáticos también solían ser mucho menos consistentes de lo que ahora son sobre el rigor en el trabajo publicado y recurrían con frecuencia a la intuición, pero a la larga es problemático debido a la naturaleza incremental del tema. Incluso en matemática pura, a menudo es necesario un tipo de especulación semi-formalizada para adivinar el enfoque correcto, pero luego debe escribirlo todo cuidadosamente para asegurarse de que no se haya equivocado. Los grandes éxitos, y luego el colapso, de la escuela italiana de geometría algebraica en la primera mitad del siglo XX, son un buen ejemplo de lo que puede suceder si los matemáticos comienzan a publicar como físicos. Quizás los físicos modernos están en peligro desde la dirección opuesta, de parecerse demasiado a los matemáticos al construir teorías de una manera que los aleja cada vez más de las predicciones comprobables sobre el mundo real.

Este matemático es muy divertido.

Primero, (y este ejemplo en particular trata más sobre ingeniería que física) es curioso que alguien pueda tener una idea como Análisis de elementos finitos, y usarla para simplificar el proceso de diseño modelando algo complejo como un motor modelando un montón de simples bits “pegados” por ecuaciones, sin ninguna idea de si hacer esto es matemáticamente correcto.

Resulta que es matemáticamente sólido, pero los matemáticos tardaron unos 20 años en demostrarlo. Incluso si no fuera así, sospecho que los matemáticos habrían podido encontrar condiciones en las que la idea sea sólida.

Cuando un ingeniero o un físico (o incluso un matemático, como en los casos de Newton y Liebnitz con cálculo, o Euler con infinitismals, o Ramanujan en general) juega rápido y suelto con las matemáticas, resulta en mucho trabajo para los matemáticos, y a menudo da como resultado nuevas ideas que no se consideraron antes (incluso si, ocasionalmente, algo resulta ser falso después de agregar rigor).

En segundo lugar, la “falta de rigor” va en ambos sentidos. Pídale a un matemático que resuelva un diferencial o una integral, o que haga algún tipo de medición, y se complace en informar un número único y glorioso, a menudo en forma exacta (con constantes para números trascendentales, radicales para números algebraicos, etc.) ) Pídale a un físico que haga lo mismo, y será diferente de dos maneras: primero, se ampliará al número de decimales justificado por la precisión de las mediciones que se hicieron para justificar la resolución de la ecuación en primer lugar ; segundo, ¡el físico mirará al típico matemático por olvidar las unidades! En física, cada número tiene una unidad asociada, y estas unidades deben combinarse de manera sensata, y cuando obtiene su resultado, es muy importante asegurarse de que las unidades tengan sentido.

Entonces, no diría que la física carece del rigor que tienen las matemáticas. En cambio, diría que los matemáticos y los físicos tienen diferentes tipos de rigor, lo cual es apropiado para cada tipo de campo de actividad.

Es maravilloso. Es la fuente de muchas nuevas teorías matemáticas que de otro modo no se habrían descubierto.

Es una etapa necesaria por la que debe pasar una teoría (en el sentido matemático de la palabra “teoría”). No podríamos haber saltado directamente de las matemáticas que teníamos antes de Newton al análisis real tal como lo conocemos hoy. Tuvimos que pasar por la etapa del cálculo semi-riguroso de Newton y Leibniz.

Cuando a un físico se le ocurre algo como la función de Dirac, señala la necesidad de una teoría matemática que aún no existe (en este caso, funciones generalizadas). El trabajo del matemático debe ser reaccionar con entusiasmo y prisa por desarrollar la teoría necesaria, no criticarlos por ser menos puros.

A veces, tenemos suerte y la rigurosa teoría matemática que necesitamos ya está por ahí. El álgebra lineal se desarrolló lo suficientemente bien como para que Heisenberg notara las similitudes entre el álgebra matricial y la forma en que los operadores trabajan en la teoría cuántica, y así desarrollar una teoría rigurosa de la mecánica cuántica en un instante. Pero no podemos confiar en eso cada vez.

El trabajo de los físicos es encontrar cosas en el mundo físico que nuestras matemáticas actuales no puedan describir de manera satisfactoria. Es entonces el trabajo del matemático encontrar una forma rigurosa de describirlos. Esto solo ocurrirá después de que físicos y matemáticos hayan experimentado (en todos los sentidos de la palabra) con las ideas semi-rigurosas. Definir los axiomas de la teoría y exponer las cosas de una manera matemáticamente rigurosa es el último paso del proceso, no el primero.

Aquí está mi opinión sobre la diferencia fundamental entre la física y las matemáticas. Cuando un matemático descubre un teorema, él o ella intenta eliminar tantas condiciones como sea posible, para producir el teorema más general posible. Cuando un físico hace un cálculo, comienza a asumir todo y el fregadero de la cocina (suave, analítico, etc.) hasta que el cálculo funciona. No significa que los físicos no sean rigurosos, per se, aunque ciertamente pueden serlo a veces dependiendo de su especialidad. Significa que los problemas de física tienden a tener mucha estructura, lo que significa que a menudo no se necesita la versión más general de un teorema. Mi experiencia es que gran parte del complicado rigor en matemáticas a menudo surge de la relajación de los supuestos, lo que requiere una gran cantidad de cuidado. Si quiero saber qué tan continua debe ser mi función para que mi teorema sea verdadero, eso seguro requerirá algo de rigor. Si solo estoy jugando con las mejores funciones, el mismo enfoque no está realmente justificado.

Hay algunos casos famosos en los que los físicos aparentemente no se preocuparon por el rigor de algún objeto (como la función delta de Dirac), pero si miras debajo de la superficie, verás que se prestó bastante atención a hacer esos cálculos correctamente (utilizando funciones de prueba, etc.) En segundo lugar, esos objetos a menudo son sustitutos de algún cálculo aproximado, y completamente suave, en el que uno está interesado, por ejemplo, en el límite de que una muestra de material sea realmente grande. Si fuera infinito, podría haber problemas matemáticos, pero realmente, realmente grande definitivamente no es lo mismo que ser infinito.

Hay una variante de un viejo chiste sobre cuatro colegas en un tren de Londres a Edimburgo: un ingeniero, físico, matemático y lógico.

Cuando cruzaron la frontera hacia Escocia, el ingeniero vio una oveja en la ladera y señaló “Mira … Las ovejas en Escocia son negras”.

El físico lo corrigió rápidamente, diciendo: “No. Solo sabemos que algunas ovejas en Escocia son negras ”.

El matemático luego intervino con “En realidad, solo sabemos que una oveja en Escocia es negra”.

Con un toque de exasperación, el lógico los corrigió a todos y dijo: “No. Solo tenemos evidencia de que un lado de una oveja en Escocia parece estar bastante oscuro ”.

Menciono la broma, ya que entre los lógicos a menudo existe una preocupación por la falta de rigor que muestran los matemáticos, y mucho menos los físicos.

Pero mientras sigan progresando, es más una objeción que una queja fundamental.

Lea el siguiente libro que responderá a esta pregunta y más:

‘ Infinitesimal: cómo una teoría matemática peligrosa dio forma al mundo moderno ‘ de Amir Alexander (2002).

Los diferenciales son un subconjunto de infinitesimales. La diferencia entre un diferencial y otros tipos de infinitesimales es demasiado pequeña para importar en esta discusión. Baste decir que Amir Alexander ha abordado su pregunta históricamente.

Se desarrolló una formalización razonablemente rigurosa de los infinitesimales alrededor de 1970. Los científicos desde Kepler (circa 1500) han estado utilizando infinitesimales para las matemáticas prácticas sin derivación formal. La mayor parte de lo que se sabía sobre los infinitesimales fue inducido, no deducido.

El concepto de infinitesimales fue introducido alrededor del año 450 a. C. por un griego clásico llamado Zenón. Sin embargo, ¡Zenón no creía en la validez del concepto! Presentó ejemplos ilustrados con el propósito de probar cuán inválida es la lógica formal.

Zenón era básicamente un sofista. Los sofistas creen que la lógica formal no es útil. Las famosas paradojas de Zenón fueron contraejemplos para mostrar que la lógica formal condujo a inconsistencias. Los infinitesimales fueron utilizados casi de inmediato por personas prácticas para problemas prácticos como la división de bienes raíces.

La Iglesia Católica Romana en realidad prohibió la enseñanza de los infinitesimales mientras procesaba a Galileo. Una de sus justificaciones fue justo lo que dijiste. Los infinitesimales no tenían una definición formal.

Los problemas cuantitativos resueltos con infinitesimales siempre adquirieron un error de truncamiento. Las operaciones con un número hipotéticamente infinito de pasos tuvieron que detenerse en un número finito.

Incluso la geometría euclidiana comienza con la hipótesis de que cualquier figura puede construirse con un número finito de operaciones utilizando un borde recto y una línea de provocación. Entonces, allí mismo, los infinitesimales contradicen la geometría euclidiana. La llamada geometría diferencial solo puede desarrollarse relajando esta restricción en la geometría euclidiana.

Personalmente, me sentí aliviado cuando aprendí sobre la teoría de los límites y los hiperrealistas. Los matemáticos desarrollaron una especie de tratamiento medio formal de los infinitesimales en el siglo XIX que resolvió la mayoría de los acertijos relacionados con los infinitesimales. Algunos matemáticos a mediados del siglo XX desarrollaron la idea de la recta numérica hiperreal, que incluye tanto cantidades finitas como cantidades infinitesimales.

Por lo tanto, mi TOC y el síndrome de Aspergers se callaron en el abrazo relajante de los números hiper reales. Sin embargo, Alexander en realidad no describe hiperrealistas. Solo los menciona de pasada.

Le sugiero que profundice en ambas topologías para el tratamiento más formal de los infinitesimales. Allí, encontrará TANTO la teoría de los límites Y los números hiper reales. Sin embargo, la mayoría de los físicos logran ejercer su habilidad mística con solo un conocimiento empírico de la topología.

No soy matemático. Soy un físico, más o menos. Logré sobrevivir bastante tiempo sin las matemáticas formales. Así que creo que el desarrollo riguroso de los infinitesimales es estéticamente satisfactorio pero generalmente innecesario. Entonces, los físicos reales deberían ser libres de corregirme si me equivoco.

Hablé con un compañero de posgrado que estudia geometría simpléctica. Cuando le pregunté si estaba interesada en su conexión con la física, ella dijo: “¿Física? Eso no tiene sentido ”. Antes de esta conversación, pensé que a los matemáticos les agradaría en general que haya una relación tan íntima entre la física y las matemáticas, y que la física a veces es el motivador detrás de los descubrimientos matemáticos. Tengo poca comprensión del trabajo de decir, Edward Witten, pero entiendo que estaba pensando en problemas físicos que condujeron a algunos desarrollos matemáticos importantes. En mi universidad, escucho los términos Seiberg-Witten esto o Gromov-Witten que se usan todo el tiempo. Pero los matemáticos no parecen preocuparse demasiado por las interpretaciones físicas y, francamente, lo ven como ciencia ficción. (En una charla sobre los múltiples de Calabi-Yau, eso es lo que literalmente dijo el hablante).

Estoy incómodo con esta actitud. Cuando los matemáticos plantean las matemáticas como el bastión del conocimiento que se mantiene puro e inmóvil, eterno y necesario, sospecho que el ego está ardiendo demasiado. Sé esto porque definitivamente he actuado elitista, elevado sobre las matemáticas. Desde las alturas, una crítica que los matemáticos entregan a otros campos (o incluso dentro de las matemáticas) es la falta de rigor. Pero el rigor matemático es adecuado solo para ciertos proyectos. En física, la confirmación experimental, las intuiciones físicas, entre otros elementos no matemáticos, son clave para el progreso; uno no puede ni debe tratar de forzar un marco para hacer matemáticas en física si eso significa cortar algunos de esos recursos. Es un mal servicio porque el objetivo de la física es diferente del de las matemáticas; La física tiene conexiones con el mundo de una manera diferente de la relación de las matemáticas con la realidad.

Otra razón por la que algunos matemáticos muestran desdén por la física puede ser que no entienden la física y saben que no se trata de buscar algunas definiciones, ejemplos y teoremas para cerrar la brecha. Como respuesta, pueden evitar la física con otras excusas. Esta es una tendencia comprensible pero no realmente productiva. Así que trato de escuchar a mis amigos de física a pesar de que hablan en círculos a mi alrededor como les hago cuando hablo de matemáticas. Es una relación extraña, pero les tengo una gran admiración porque, incluso si entiendo todas las matemáticas que necesitan, no tengo la misma intuición que ellas sobre lo que está sucediendo físicamente.

Para concluir, creo que debería permitirse a los físicos tomar más libertades con las matemáticas si eso significa avanzar según lo definido por sus criterios y dejar el rigor a los matemáticos interesados ​​en ese tipo de cosas. Cuando los matemáticos critican la física por falta de rigor, no tiene por qué molestar demasiado al físico. Su falta de rigor puede estar manteniendo al matemático empleado.

Editar: Escribí esta publicación quizás con demasiada pasión. Las experiencias que cuento son mías; No pretendo apuntar a todos los matemáticos cuando digo que algunos muestran desdén por la física. Muchos de los profesores de Stony Brook, por ejemplo, trabajan en la intersección de las matemáticas y la física y les encanta hablar sobre las ideas de ambos.

¿No depende qué tipo de matemático preguntas?

Los físicos juegan rápido y suelto con las matemáticas a veces. Es normal para el curso porque las matemáticas solo están allí como una forma abreviada de explicar lo que está realmente lejos de lo que podemos modelar y jugar (y como observó Feynman, eso está lejos de ser la cosa en sí, pero tendrá que hacerlo si queremos tener alguna posibilidad de entender).

Es un poco como obtener la redacción correcta para su manual técnico en lugar de usar construcciones en poesía simplemente porque se ven y suenan elegantes y hermosas. Uno es un medio para un fin, el otro un fin en sí mismo.

Los matemáticos puros, como algunos poetas, son un grupo extraño. No siempre se preocupan por el sentido, o generalmente por el uso y la aplicabilidad. Para el celoso PM, la belleza, la pureza y la expresión de la cosa misma es el fin mismo. Que tenga algún significado fuera de eso, es casi irrelevante.

Para ellos, simplemente gruñimos homínidos (las personas que realmente usan cosas para aplicaciones y razones) abusamos y violamos la belleza de sus construcciones, y los convertimos en formas feas en las que no deberían existir. Que puedan ser útiles es un cosa simplemente incidental.

Y me gusta eso. ¿Dónde estaría sin ese tipo de pureza ascética?

Hace mucho tiempo, la física carecía de rigor, pero ya no. La función de Dirac fue un ejemplo famoso, pero hoy todos saben cómo tomar el límite de una familia adecuada de funciones de prueba. Los físicos generalmente trabajan con lagrangianos y / o espacio de fases, por lo que saben con precisión cuál es el infinitesimal: la constante de Planck (a la tercera o cuarta potencia, según corresponda). Todavía descuidan cantidades insignificantes pero saben lo que están haciendo y cómo justificarlo. Aplican la intuición al esbozar un problema, pero también lo hacen los matemáticos (el término técnico es “agitar las manos”). Al final, ambos deben completar los detalles.

¿Me puede dar un ejemplo de una teoría de la física, finalizada y aceptada, donde las matemáticas son menos que rigurosas? Debe haber uno o dos, pero no se me ocurre ninguno.

La física carece de rigor al aplicar las matemáticas al mundo real. Por ejemplo, representan el espacio curvo rigurosamente pero no pueden decirte qué diablos es. La teoría de cuerdas, en particular, es matemática rigurosa pero física extremadamente cuestionable. Es por eso que los matemáticos sensibles (personas inteligentes en general) no tienen más que desprecio por algo de física teórica. Las matemáticas son buenas e interesantes, pero probablemente no tengan nada que ver con el mundo físico real.

Los matemáticos o físicos que tienen menos respeto por los demás son tontos. Las matemáticas y la física se informan mutuamente y se guían mutuamente. Geometría significa “medición de la Tierra”. La teoría de grupos permaneció en los viejos documentos durante años hasta que los físicos notaron patrones en las propiedades de las partículas y escribieron algunos documentos sobre ella. Entonces alguien dijo: “oye, eso es teoría de grupo”. Hoy no puedes hacer física sin entender la teoría de grupo. El verdadero misterio es por qué cualquier cosa más allá del simple conteo debería aplicarse a cualquier teoría física. Y diablos, Newton inventó el cálculo porque necesitaba una herramienta mejor para describir sus ideas sobre la gravedad. Cualquiera en cualquiera de los campamentos que no respeta al otro es simplemente vago.

En el pasado, cuando tomé mis clases de Análisis, el profesor hizo un comentario sobre esto exactamente.

Cada estudiante de matemáticas tiene que tomar cuatro clases de Análisis (llamadas Análisis 1–4, sí, somos tan creativos). Los dos primeros y medio son obligatorios para los estudiantes de física también. Esto significa que durante los primeros 2,5 semestres, los estudiantes de física y matemáticas comparten las mismas clases de matemáticas. Como estas clases son de matemáticas, siguen el rigor matemático. Además, los estudiantes de Física tienen clases en las que aprenden a calcular como un físico (por lo que aprenden sobre el lado aplicado de las matemáticas que no se realiza durante las clases de matemáticas). Durante estas clases, dejaron pasar el rigor matemático.

Algunos de ellos se confunden e intentan usar ‘su manera’ durante la clase de Análisis. En estos casos, simplemente se les recuerda que hagan las cosas correctamente. Sin embargo, en una conferencia, el profesor escribió un cálculo como lo harían los físicos. Comenzó diciendo “no le digas a nadie lo que voy a hacer” [bromeando, por supuesto]. Después de terminar, señaló cuáles son los problemas relacionados con el rigor en este caso y por qué está bien que los físicos lo hagan de todos modos. Luego limpió el tablero diciendo “Ahora destruiré cualquier evidencia, después de todo, no quiero que nadie piense que soy demasiado estúpido para hacer las matemáticas correctamente”.

Básicamente, podría servir como fuente de bromas. Pero al final del día, nadie debería tener un problema con eso.

Me gustaría agregar que es de esperar que el departamento de matemáticas se burle del departamento de física y viceversa. A menos que se hagan amigos y se burlen del departamento de informática juntos. Podrías llamarlo cultura universitaria.

Lo que pasa con los diferenciales (y muchas otras herramientas matemáticas) es que un físico tiene el lujo de poder hacer muchas suposiciones sin probar ninguna de ellas.

En física, si un sistema de ecuaciones diferenciales describe los comportamientos de un sistema físico, en general es obvio que todas las funciones involucradas son continuas, diferenciables, en general muy bien comportadas.

Esto se debe a que describen el comportamiento del mundo físico, que es bastante manso, matemáticamente. Si bien es divertido (y esclarecedor) para un matemático pensar en las muchas dificultades posibles que uno puede encontrar al resolver ecuaciones diferenciales ‘exóticas’, es algo con lo que los físicos normalmente no tienen que lidiar.

Tampoco estoy por encima de hacer lo que a veces se llama burlonamente matemáticas físicas , si sé que va a funcionar.

Esta es una buena pregunta. Toma a Einstein. Según algunos historiadores, él “derivó” su famosa ecuación E = mc ^ 2 varias veces erróneamente. Pero aparentemente él sabía que el resultado funcionó. No importa, las matemáticas parecen ayudar hasta cierto punto en la física creativa. Una perspectiva diferente se refiere a los fundamentos. Entonces, cuando nosotros (principalmente los filósofos) intentamos comprender lo que se ha hecho, la precisión y los cálculos correctos están dirigidos a. Pero sabemos que esto puede exigir tiempo, como muestran las teorías QFT; sabemos que funcionan, pero a la mayoría de ellos les falta una base “sólida”. Tiempos interesantes

Los físicos y matemáticos están haciendo diferentes trabajos, por lo que, por supuesto, funcionan de manera diferente. Los matemáticos trabajan con un escenario idealizado, los físicos con el mundo real. Los físicos con frecuencia crean modelos de juguetes dentro de los cuales se pueden hacer matemáticas puras, tanto por ellos como por matemáticos. Los modelos de juguetes ayudan a desarrollar la intuición física. Pero el estándar final para los físicos es el acuerdo con el experimento en situaciones incluso desordenadas, no la prueba matemática. No tengo más que admiración por los físicos que no están inhibidos por trabajar fuera de un contexto matemáticamente bien definido.

Depende de si una persona es un pomposo o una persona decente.

La matemática es una disciplina muy abstracta, pero la física debe aplicarse en última instancia al mundo real.

La física a menudo aplica las matemáticas a los problemas para encontrar un modelo o solución. La mayoría de los matemáticos que trabajan en física también lo entienden.

Por ejemplo, a un físico solo le importa que la velocidad sea la derivada de la posición frente al tiempo, no le importa mucho la teoría de los diferenciales en sí o cómo se deriva rigurosamente.

Sin embargo, no es que alguna física teórica también empuje las matemáticas hacia adelante. Se han realizado varios descubrimientos matemáticos a través de la física.

FÍSICO: Usé matemáticas aquí. Mira, soy físico, lo acabo de usar como herramienta. Puede preguntarle a un matemático, él debería saber mejor cómo funciona.

MATEMÁTICAS: Bueno, no son matemáticas. Es una magia simbólica. Es matemáticamente sin sentido. Pregúntele al físico que lo escribió, él debería saber cómo funciona.

No soy matemático ni físico. Pero entiendo que hay una prueba brillante que dice “nada se puede probar usando las matemáticas”. La matemática comienza con postulados. Estos postulados son “supuestos iniciales”. Si suponemos que tal y tal es cierto, entonces bla, bla, bla. Pero todavía todo depende de suposiciones.

Cuando comenzamos a observar las matemáticas y la física del mundo real, la conversación es algo así: “Si lanzamos una pelota al aire, comenzando con una velocidad de 5 pies por segundo, y si y es igual a la fuerza de gravedad, y si existe no es fricción, entonces bla, bla, bla “.

“Si suponemos lo siguiente, entonces bla, bla, bla”. Pero realmente no hemos probado nada. Hemos construido un modelo abstracto con constantes que se suponían, y con reglas físicas que podrían llamarse leyes, pero en realidad estas leyes solo son teorías observadas que solo se suponen buenas hasta que la experimentación demuestre lo contrario. Y, como resultado, si hacemos suficientes experimentos, generalmente hay excepciones y parámetros de modificación a las “Leyes de la Física”, que aún nos hacen rascarnos la cabeza.

Sugeriría que nada se puede probar usando matemáticas, y nada se puede probar usando física. En cambio, las matemáticas representan un conjunto de tautologías lógicas que solo son ciertas si las suposiciones son verdaderas. La física es igual. “Si esto es cierto y es cierto, entonces bla, bla, bla”.

Honestamente, creo que los matemáticos deben relajarse un poco al considerar el uso de diferenciales por parte de los físicos, ya que a menudo se usan. En la medida en que dx y dt (por ejemplo) son de hecho insignificantemente pequeños con respecto a las escalas de distancia y tiempo relevantes para cualquier movimiento considerado, no hay absolutamente nada de malo matemáticamente en dejar dx = vdt … si los matemáticos se ponen ardientes con este uso de cálculo diferencial, les falta el hecho de que las aproximaciones están vigentes, y dentro de las limitaciones de dicha aproximación, todo está bien. También (probablemente) estarían en desacuerdo con el inventor del cálculo por la forma en que trataba los diferenciales …

El manejo de los diffnetials, dx’s & dy’s se ha formalizado mediante análisis no estándar y se considera kosher. Probablemente hay algunas suposiciones subyacentes que no siempre se reconocen, pero no creo que los matemáticos pierdan el sueño al respecto.

En física, si sus matemáticas no están de acuerdo con la realidad, su teoría no irá muy lejos. Los físicos manejan funciones bastante bien comportadas, mientras que los matemáticos buscan funciones realmente extrañas que no reflejan la realidad, por lo que el análisis no estándar generalmente funciona.