¿Qué es [matemáticas] \ int \ frac {5x ^ 3 + x-1} {x ^ 4 + x ^ 2} dx [/ matemáticas]?

Deje que [matemáticas] I = \ int \ frac {5x ^ 3 + x-1} {x ^ 4 + x ^ 2} \, dx [/ matemáticas]

Deje que [matemáticas] \ frac {Ax + B} {x ^ 2} + \ frac {Cx + D} {x ^ 2 + 1} = \ frac {5x ^ 3 + x-1} {x ^ 4 + x ^ 2}. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad \ frac {(Ax + B) (x ^ 2 + 1) + (Cx + D) (x ^ 2)} {x ^ 2 (x ^ 2 + 1)} = \ frac { 5x ^ 3 + x-1} {x ^ 4 + x ^ 2}. [/ Math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad \ frac {(A + C) x ^ 3 + (B + D) x ^ 2 + Ax + B} {x ^ 2 (x ^ 2 + 1)} = \ frac {5x ^ 3 + x-1} {x ^ 4 + x ^ 2}. [/ Matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad A + C = 5, \ qquad B + D = 0, \ qquad A = 1 \ qquad [/ math] y [math] \ qquad B = -1. [/ math]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad A = 1, \ qquad B = -1, \ qquad C = 4 \ qquad [/ math] y [math] \ qquad D = 1. [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad \ frac {5x ^ 3 + x-1} {x ^ 4 + x ^ 2} = \ frac {x-1} {x ^ 2} + \ frac {4x + 1} {x ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad I = \ int \ left (\ frac {x-1} {x ^ 2} + \ frac {4x + 1} {x ^ 2 + 1} \ right) \, dx. [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad I = \ int \ frac {1} {x} \, dx – \ int \ frac {1} {x ^ 2} \, dx + \ int \ frac {4x} {x ^ 2 +1} \, dx + \ int \ frac {1} {x ^ 2 + 1} \, dx. [/ Math]

[math] \ Rightarrow \ qquad I = \ log x + \ frac {1} {x} + 2 \ log (x ^ 2 + 1) + \ arctan x + C. [/ math]

Nos gustaría hacer la sustitución [math] t = x ^ 4 + x ^ 2 [/ math] con [math] dt = 2 (2x ^ 3 + x) dx [/ math]. Veamos si es una buena idea. Tenemos

[matemáticas] \ int \ frac {5x ^ 3 + x-1} {x ^ 4 + x ^ 2} dx = \ int \ frac {5x ^ 3 + x} {x ^ 4 + x ^ 2} dx – \ int \ frac {dx} {x ^ 4 + x ^ 2} = \ int \ frac {2x ^ 3 + x} {x ^ 4 + x ^ 2} dx + \ int \ frac {3x ^ 3} {x ^ 4 + x ^ 2} dx – \ int \ frac {dx} {x ^ 4 + x ^ 2} [/ math].

La integral [matemática] \ int \ frac {3x ^ 3} {x ^ 4 + x ^ 2} dx [/ matemática] es sencilla (cancelar por [matemática] x ^ 2 [/ matemática]) así que permítame continuar con el restantes dos. Veamos la primera integral; en este caso podemos aplicar nuestra sustitución deseada:

[matemáticas] \ int \ frac {2x ^ 3 + x} {x ^ 4 + x ^ 2} dx = \ tfrac {1} {2} \ int \ frac {2 (2x ^ 3 + x)} {x ^ 4 + x ^ 2} dx = \ tfrac {1} {2} \ log (x ^ 4 + x ^ 2) + C [/ matemáticas]

Ahora tenemos que manejar [math] \ int \ frac {dx} {x ^ 4 + x ^ 2} dx [/ math] pero esto es estándar, ya que puede dividirlo fácilmente en fracciones parciales:

[matemáticas] \ frac {1} {x ^ 4 + x ^ 2} = \ frac {1} {x ^ 2} – \ frac {1} {x ^ 2 + 1}. [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {5x ^ 3 + x-1} {x ^ 4 + x ^ 2} \, dx [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ displaystyle \ int \ dfrac {5x ^ 3 + x-1} {x ^ 2 \ left (x ^ 2 + 1 \ right)} \, dx [/ math]

Realizar descomposición de fracción parcial:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ left (\ dfrac {4x + 1} {x ^ 2 + 1} + \ dfrac {1} {x} – \ dfrac {1} {x ^ 2} \ right) \, dx [/matemáticas]

División de ecuaciones aplicando linealidad:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {4x + 1} {x ^ 2 + 1} + \ int \ dfrac {1} {x} – \ int \ dfrac {1} {x ^ 2} \, dx [/ matemáticas]

Ahora resolviendo: [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {4x + 1} {x ^ 2 + 1} \, dx [/ math]

[math] \ Rightarrow \ displaystyle \ int \ dfrac {4x} {x ^ 2 + 1} + \ frac {1} {x ^ 2 + 1} [/ math] [math] \, dx [/ math]

Divida la ecuación nuevamente aplicando linealidad:

[matemáticas] \ displaystyle 4 \ int \ dfrac {x} {x ^ 2 + 1} \, dx + \ int \ frac {1} {x ^ 2 + 1} \, dx [/ math]

Ahora resolviendo para: [matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {x} {x ^ 2 + 1} \, dx [/ matemáticas]

Sustituir [matemáticas] u = x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

Dado que [math] \ frac {d} {dx} \ left [x ^ 2 + 1 \ right] = 2x [/ math] entonces [math] dx = \ dfrac {du} {2x} [/ math]

[math] = \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {u} \, du [/ math]

Ahora resolviendo para [math] \ displaystyle \ int \ frac {1} {u} \, du [/ math]

Esta es una integral estándar: [math] = \ ln \ left (u \ right) [/ math]

Entonces [math] \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {u} \, du = \ dfrac {\ ln \ left (u \ right)} {2} [/ math]

Deshacer la sustitución de [math] u = x ^ 2 + 1: \: \ dfrac {\ ln \ left (x ^ 2 + 1 \ right)} {2} [/ math]

Ahora resolviendo para [math] \ displaystyle \ int \ frac {1} {x ^ 2 + 1} \, dx [/ math]

Esta es una integral estándar: [matemática] \ arctan \ left (x \ right) [/ math]

Entonces [matemáticas] \ displaystyle 4 \ int \ dfrac {x} {x ^ 2 + 1} \, dx + \ int \ frac {1} {x ^ 2 + 1} \, dx = 2 \ ln \ left (x ^ 2 + 1 \ derecha) + \ arctan \ izquierda (x \ derecha) [/ matemáticas]

Ahora resolviendo para [matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x} \, dx = \ ln \ left (x \ right) [/ math]

y [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x ^ 2} \, dx = \ dfrac {1} {x} [/ math] usando la regla de poder.

Enchufar todas las integrales resueltas: [matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {4x + 1} {x ^ 2 + 1} \, dx + \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x} \, dx- \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x ^ 2} \, dx = 2 \ ln \ left (x ^ 2 + 1 \ right) + \ ln \ left (x \ right) + \ arctan \ left (x \ right) + \ dfrac {1} {x} [/ math]

¡Eso es! Simplemente agregue la constante y aplique la función de valor absoluto:

[matemáticas] = \ ln \ left (\ left | x \ right | \ right) +2 \ ln \ left (x ^ 2 + 1 \ right) + \ arctan \ left (x \ right) + \ dfrac {1} {x} + C [/ matemáticas]