Cuando comienzas a mirar el cálculo en dimensiones superiores, resulta que hay varias formas de generalizar los conceptos familiares del cálculo elemental. Hay varias formas de ver las formas diferenciales, pero quizás la más fácil es verlas como generalizando la * integral definida con signo * de una función normal con valor real de una variable real.
Para tener una idea intuitiva de esto, imagine que hay algún campo de fuerza presente en la recta numérica real. Para mover una partícula de un punto A a un punto B a través de este campo, se requerirá una cierta cantidad de trabajo. Para un punto fijo x en la línea, la cantidad de trabajo que tendremos que hacer para mover la partícula a un punto cercano x ‘es aproximadamente proporcional a la diferencia x’ – x siempre que sea lo suficientemente pequeña. Sin embargo, habrá una constante de proporcionalidad, que puede depender del punto inicial x, por lo que podríamos escribir la constante como la función f (x), y el trabajo para pasar de x a x ‘es aproximadamente f (x) * (x ‘- x). Es esta función f la que nos interesa integrar en un intervalo orientado cuando queremos calcular el trabajo realizado en la partícula al moverla de A a B. Esta es la versión de la integral definida con signo con la que ya está familiarizado.
Es la misma idea si queremos mover la partícula a lo largo de una curva orientada en 3 espacios. Una vez más, podemos ver algún punto fijo x y decir que el trabajo realizado para mover la partícula a un punto cercano (infinitamente cercano) x ‘es linealmente proporcional a la diferencia x’ – x … excepto que ahora la diferencia es un vector. En lugar de multiplicar por una constante de proporcionalidad, ahora aplicamos una * transformación lineal * w_x, es decir, w_x es un mapa lineal desde 3 espacios hasta la línea real y w_x (x ‘- x) es una cantidad numérica que representa el trabajo hecho al mover la partícula de x a x ‘.
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Observe el subíndice en w_x. w_x podría ser un mapa lineal diferente para cada punto fijo x, aunque el mapa en sí variará continuamente a medida que cambiemos el punto base x. Podemos imaginar entonces la entidad general w que representa la colección de todos esos w_x para todas las x en la curva. Esta w es una forma 1, y es esta w la que integramos a lo largo de la curva para calcular el trabajo realizado al mover la partícula a través del campo de fuerza en 3 espacios desde el punto A hasta el B.
Las formas k para k> 1 se construyen de forma análoga, aunque existen algunas sutilezas. En particular, una forma k w generalmente no asignará un mapa lineal a cada punto x del espacio; en su lugar, asignará un mapa multilineal, una función de k argumentos que es lineal en cada ranura.
Para entender por qué, piense en el caso k = 2. En lugar de integrar sobre una curva, estamos integrando algún tipo de “flujo” sobre una superficie. Rompemos la superficie en pequeños paralelogramos pequeños al igual que rompimos la curva en pequeños y pequeños vectores de desplazamiento. Cada uno de estos pequeños paralelogramos se puede describir con dos vectores, que representan sus dos bordes que emanan del punto fijo x. Por lo tanto, necesitamos un mapa w_x que observe ambos vectores, produzca un escalar como resultado y sea lineal con respecto a cada vector. Este es un mapa bilineal, es decir, una función de dos variables que es lineal en cada variable.
