Con dificultad. 2 + 2 = 4 es un teorema simple que puedes deducir de la definición de suma. Hay formas de hacer 2 + 2 = 5, sin embargo, puede esperar que sean bastante extrañas.
TL: DR
Aquí hay algunas maneras en que podría hacerlo. Advertencia, algunos de ellos son bastante extraños :). Incluso para matemáticos.
- Módulo 1 aritmético. Cada número es igual a 0, entonces 2 + 2 = 0 + 0 = 0 = 5
- Redefinir la igualdad. 3 = 4, 4 = 5 pero 3! = 5. (igualdad no asociativa, de lo contrario es igual al caso anterior). Ahora 2 + 2 = 4 = 5 = 6 = 7 =… Pero 2 + 2! = 6. Porque 4 = 5 = 6 no implica que 4 = 6. Esto es lógicamente consistente pero es un tipo de razonamiento muy extraño.
- Defina (+) para que x (+) y = x + y + 1. Entonces 2 (+) 2 = 2 + 2 + 1 = 5. La forma más fácil: simplemente redefina la suma. Muchas formas de hacer esto.
- Extrañas reglas o convenciones de deducción. Por ejemplo, use la convención de que en cualquier ecuación, siempre agrega 1 al lado derecho, de modo que cuando dice 2 + 2 = 5, quiere decir lo mismo que lo que significa la gente común cuando escriben 2 + 2 = 4. Esto es no es lo mismo que el caso anterior, porque con 5 en el lado derecho realmente quiere decir lo que la mayoría de la gente llamaría 4. Entonces, 4 = 5. Pero [matemática] 5 \ neq 4 [/ matemática] porque 4 a la derecha lado de la mano significaría lo que la mayoría de la gente llama 3. También [matemáticas] 4 \ neq 4 [/ matemáticas] por la misma razón.
- Paraconsistente Simplemente agregue 2 + 2 = 5 como un nuevo axioma y acepte que su sistema de axiomas es inconsistente. Solo puede usarlo para cadenas de deducción muy cortas antes de llegar a una contradicción. Tales sistemas de deducción son interesantes de todos modos, por ejemplo, en la vida real, a menudo trabajamos con sistemas de lógica paraconsistentes donde tenemos un sistema de supuestos que son inconsistentes, pero aún así nos resulta útil deducir cosas de ellos, y de vez en cuando golpear una inconsistencia y revisar nuestras suposiciones.
- Los números que dependen del tiempo, o por alguna otra razón, son fluidos y cambiantes a medida que avanza por las ecuaciones. Entonces, 2 (+) 2 = 5 porque uno de los objetos que está contando se dividió en dos cuando llegó al lado derecho de la ecuación (si se lee de izquierda a derecha) o se fusionó (si se lee de derecha a izquierda) donde las ecuaciones siempre se refieren a registros de secuencias de tiempo.
EN DETALLE
Primero, es fácil demostrar que 2 + 2 = 4. Solo necesita la regla x + Sy = S (x + y) donde Sx significa el sucesor de x, o x + 1. Con algunos pasos más, con axiomas naturales simples, también puede derivar una contradicción de 2 + 2 = 5 Prueba de sangría para que sea fácil omitirla.
Defina 2 = SS0, 4 = SSSS0 y 5 = SSSSS0, luego 2 + 2 = (SS0 + SS0) = S (SS0 + S0) = SSSS0 = 4.
Entonces, si agrega 2 + 2 = 5 (o SS0 + SS0 = SSSSS0) como axioma a su axiomatización de la aritmética, deduce inmediatamente que 2 + 2 = 4 = 5.
Entonces, mientras tengas las reglas que
- Sx = Sy -> x = y, y que
- 0 no es el sucesor de ningún número
terminas, después de unos pocos pasos más, demostrando que S0 = 0, contradicción.
Aquí estoy usando las reglas de la aritmética de Robinson, dejando de lado las reglas sobre la multiplicación, las reglas 1 a 5 aquí. Ver aritmética de Robinson No necesita la regla 3 de que cada número tiene un predecesor para derivar una contradicción de 2 + 2 = 5.
Entonces, básicamente son solo los primeros tres axiomas de Robinson, el quinto y la definición de 2 y 5, y la contradicción desaparece. Esta es una de las axiomatizaciones más simples de la aritmética, y aunque puede agregar reglas de deducción más poderosas, siempre que tenga una suma, con cualquier forma ordinaria de aritmética, entonces esto se abandonará rápidamente como un resultado fácil, que 2 + 2 = 4, y que esto es inconsistente con 2 + 2 = 5.
Entonces, tienes que cambiar algo allí, para hacer 2 + 2 = 5. Aquí hay algunas ideas:
1. cambiar la definición de =. Fácilmente podría tener 2 + 2 = 1 (mod 3) con módulo aritmético o “reloj aritmético”. Por ejemplo, en un reloj, entonces 6 horas después de las 8 en punto son las 2 en punto. Entonces 8 + 6 = 2. Eso se llama módulo aritmético, 8 + 6 = 2 mod 12, – significa que trata los números que son 12 separados como iguales. Agrega una regla n + 12 = n, y descarta la regla de que ningún número tiene 0 como sucesor.
Entonces, puede hacer lo mismo con el módulo 3 aritmético (digamos). Agregue la regla de que n + 3 = n. Descarte la regla de que ningún número tiene 0 como sucesor. Pero ese módulo particular de 3 no funcionará porque 5 = 2 mod 3.
No es tan fácil definir an = con 2 + 2 = 5. Desea tener 4 = 5 para que eso funcione, pero ¿cómo puede ser eso si el módulo es mayor que 1?
Solo puedo ver una forma natural de hacer esto, y es bastante trivial. Aritmética del módulo 1, donde cada número es igual a 0 , y el sucesor de un número es él mismo, y extrañamente decide trabajar con SS0 y SSSSS0 a pesar de que ambos son iguales a 0.
Hay varias formas menos naturales de hacerlo:
2, tienen igualdad no asociativa, que Sx = x para cada x, y luego 4 = 5, de manera similar 3 = 4, pero no tienes 3 = 5 (de lo contrario, es lo mismo que la aritmética del módulo 1).
O algún otro experimento en ese sentido, extrañas reinterpretaciones de = .
3. Redefinir la adición . Esa es la forma más fácil de hacerlo. Hay muchas operaciones binarias y solo puedes inventar una.
Defina (+) de modo que x (+) y = x + y + 1. Fácil guisante. ¡Hecho!
4. Redefina 5 para que sea un símbolo de 4. Ahora necesita un nuevo símbolo para 5, y bien podría redefinir 4 para que sea un símbolo de 5.
5. Lógica paraconsistente. Simplemente agregue 2 + 2 = 5 como un nuevo axioma y acepte que su sistema de axiomas es inconsistente.
6. Extrañas reglas o convenciones de deducción. Por ejemplo, use la convención de que en cualquier ecuación, siempre agrega 1 al lado derecho, de modo que cuando dice 2 + 2 = 5, quiere decir lo mismo que lo que significa la gente común cuando escriben 2 + 2 = 4.
7. Los números que dependen del tiempo, o por alguna otra razón, son fluidos y cambiantes a medida que avanza por las ecuaciones. Entonces, 2 (+) 2 = 5 porque uno de los objetos que estás contando se divide en dos. Por ejemplo, un sistema numérico para contar nubes. Tenga una convención que cuando dice A = B, entonces el signo = aquí representa la situación después de un paso de tiempo de diez minutos, digamos. Entonces 2 (+) 2 = 5 significa que 2 nubes + 2 nubes, diez minutos después, se convirtieron en 5 nubes. Sería empírico sin un sistema de deducción, solo está anotando observaciones, no está demostrando un resultado sobre los números.
Cielo azul y nubes blancas: si tuviera un sistema basado en el conteo de nubes y la convención de que en una ecuación, el tiempo aumenta a medida que avanza hacia la derecha, entonces podría tener números con propiedades aparentemente extrañas si no conociera el convención. Este es un caso especial de redefinición =.
O tal vez tienes alguna regla sobre la formación de nuevas nubes, o lo que sean los objetos. Por ejemplo, cada vez que tiene al menos 4 objetos, se agrega uno nuevo y, en general, agrega tantos objetos nuevos como múltiplos de 4 en el lado izquierdo. Por ejemplo, 4 (+) 6 = 12 porque 4 + 6 = 10 (antes de buscar múltiplos de 4), entonces son dos múltiplos de 4, por lo que obtienes dos nubes nuevas (o lo que sea), por lo que el lado derecho necesita 2 agregados. .
Esto es diferente de redefinir la suma porque 12 no es igual a 4 + 6, más bien, 10 = 6 + 6, porque tienes la convención de que es una serie temporal que aumenta de izquierda a derecha, por lo que 10 nubes se convertirían en 12 en el lado derecho del signo igual, es decir, 6 + 6. Pero 10 = 6 + 6 = 15 = 18 = 21 = 25 = 15 + 14 = … porque cada nueva ecuación agrega aún más nubes.
Es más como una extraña regla de deducción combinada con una reinterpretación de = que una forma de redefinir +. También tendrías 10 = 12 = 14 = 16 = 19 = …
O tal vez los números cambian aleatoriamente, por lo que a veces 2 nubes + 2 nubes = 4, a veces son = 5, a veces 1, a veces 23, etc. .
Es divertido imaginar cómo sería ser extraterrestres que viven en un entorno en constante cambio, donde el número de objetos nunca es el mismo, por lo que no se puede contar en el sentido común, ni siquiera ellos mismos.
A veces pueden despertarse y descubrir que se han dividido en una docena de individuos, a veces toda una comunidad se convierte en un solo organismo, y está cambiando constantemente, incluso de un minuto a otro: no se puede completar un proceso de pensamiento sin la cantidad de todo en Su entorno cambia.
Tal vez los números son tan fluidos que sus matemáticas tienen una versión bastante extraña de la topología, tal vez como su idea fundamental, no aritmética, por ejemplo, la topología de sus rutas comerciales, o sistemas de circulación atmosférica y tormentas, y cuando desarrollan números, tal vez surjan con algunas nociones extrañas de = y otras operaciones en números.
Tal vez viven en las cubiertas de nubes de un gigante gaseoso, y no pueden ver nada a su alrededor, excepto nubes y vórtices, que cambian constantemente y tienen una naturaleza similar.
Puede haber otras formas de hacerlo. Estas son solo algunas sugerencias.
De los mencionados aquí, diría que 3, redefinir la suma, es la forma más fácil de usar y trabajar para obtener muchas teorías autoconsistentes que tienen 2 + 2 = 5.
Vea también mi respuesta a ¿Es posible que una civilización alienígena tenga matemáticas completamente diferentes a las nuestras?
Y estoy seguro de que hay otros. 😉 
