Buena pregunta, difícil de responder en pocas palabras. Daré mi breve respuesta.
En primer lugar, comenzamos con nuestras intuiciones, de una manera bastante constructiva. Combinamos signos, los identificamos, los distinguimos, los contamos, etc., incluso sin tener una definición clara del lenguaje, del número, etc. Con estas cosas, podemos construir sistemas muy fuertes, como la teoría de conjuntos ZF y luego reconstruir nuestros pasos y comprender los significados de varios conceptos que hemos usado antes. Kenneth Kunen, en su libro The Foundations of Mathematics, dice que la lógica (y las matemáticas) es algo que debes hacer dos veces. Añado “o más”. Es decir, usas la lógica para hacer lógica, y al tener la lógica entiendes la lógica que has usado. Interesante, ¿eh? Entonces, la primera forma de responder a la pregunta es decir que comenzamos con lógica, con formas de razonamiento (sistemas lógicos: ya he distinguido entre una lógica, un canon de inferencias y la lógica de disciplina, que es mucho más que la lógica). estudio de inferencias) y progreso a las matemáticas.
Pero hay al revés. Para Brouwer, la lógica es el lenguaje de las matemáticas. Las matemáticas son lo primero. De la misma manera, la teoría de conjuntos de Morse no presupone ninguna lógica (no me refiero a la teoría de conjuntos de Morse-Kelley, pero la de Morse de A Theory of Sets, Academic Press, 1965, no encontré un enlace). En estos trabajos, las matemáticas son lo primero.
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Entonces, como he dicho en otra respuesta, todo depende. La lógica puede fundamentar las matemáticas y, en cierto sentido, también es posible al revés.
