Los grupos abelianos fueron nombrados en el siglo XIX después del matemático Niels Henrik Abel (1802-1829). Una propiedad distintiva de los grupos abelianos es la conmutatividad.
Para más detalles, un grupo abeliano es
un conjunto, A , junto con una operación • que combina cualquiera de los dos elementos ayb para formar otro elemento denotado a • b . El símbolo • es un marcador de posición general para una operación concreta. Para calificar como grupo abeliano, el conjunto y la operación, ( A , •), deben cumplir cinco requisitos conocidos como los axiomas del grupo abeliano :
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Cierre
Para todo a , b en A , el resultado de la operación a • b también está en A.
Asociatividad
Para todos a , byc en A , la ecuación ( a • b ) • c = a • ( b • c ) es válida.
Elemento de identidad
Existe un elemento e en A , de modo que para todos los elementos a en A , se mantiene la ecuación e • a = a • e = a .
Elemento inverso
Para cada a en A , existe un elemento b en A tal que a • b = b • a = e , donde e es el elemento de identidad.
Conmutatividad
Para todo a , b en A , a • b = b • a .
Un grupo en el que la operación de grupo no es conmutativa se denomina “grupo no abeliano” o “grupo no conmutativo”. […]
Ejemplos
- Para los enteros y la suma de la operación “+”, denotada ( Z , +), la operación + combina dos enteros para formar un tercer entero, la suma es asociativa, cero es la identidad aditiva, cada entero n tiene un inverso aditivo, – n , y la operación de suma es conmutativa ya que m + n = n + m para dos enteros m y n . […]
En general, las matrices, incluso las matrices invertibles, no forman un grupo abeliano bajo multiplicación porque la multiplicación de matrices generalmente no es conmutativa. Sin embargo, algunos grupos de matrices son grupos abelianos bajo multiplicación matricial; un ejemplo es el grupo de matrices de rotación 2 × 2.
Aquí también hay un video tutorial informativo sobre la definición de un grupo abeliano, con ejemplos:
