¿Cuál es el mayor entero N tal que 7x + 11y = N no tiene soluciones no negativas x, y?
La respuesta es 59.
Prueba en 2 partes:
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Parte 1: 59 no se puede expresar usando enteros no negativos.
Supongamos que 7x + 11y = 59.
Intenta y ser uno de 0,1,2,3,4,5.
En esos casos, 7x sería 59,48,37,26,15,4. Pero ninguno de esos es divisible por 7.
Si y fuera> 5, entonces x sería negativo.
Si y fuera <0, y sería negativo.
Entonces, al menos uno de x, y es negativo para hacer 59
Parte 2: cada número mayor que 59 se puede expresar con enteros no negativos.
7 (7) + 11 (1) = 60 Fácil.
7 (4) + 11 (3) = 61 Fácil.
Ahora tenga en cuenta lo siguiente:
7 (-3) +11 (2) = 1
7 (5) +11 (-3) = 2
7 (2) +11 (-1) = 3
7 (-1) +11 (1) = 4
7 (-4) +11 (3) = 5
7 (4) +11 (-2) = 6
7 (1) +11 (0) = 7
Podemos sumar cada una de esas ecuaciones a su vez a 7 (x) +11 (y) = N y estos son los resultados:
7 (x-3) +11 (y + 2) = N + 1
7 (x + 5) +11 (y-3) = N + 2
7 (x + 2) +11 (y-1) = N + 3
7 (x-1) +11 (y + 1) = N + 4
7 (x-4) +11 (y + 3) = N + 5
7 (x + 4) +11 (y-2) = N + 6
7 (x + 1) +11 (y) = N + 7
Esos muestran que si x es al menos 4 e y es al menos 3, entonces todos los números de N a N + 7 se pueden expresar con enteros no negativos.
Y la última ecuación muestra que si (x, y) produce N, entonces (x + 1, y) produce N + 7.
Y si (x, y) es al menos (4,3), entonces (x + 1, y) también es al menos (4,3).
Entonces, por inducción, si (x, y) es al menos (4,3), entonces todos los números mayores que N pueden expresarse con enteros no negativos.
Y el (x, y) para 61 es (4,3).
Posdata
Después de escribir esta publicación, Joseph Zhang observó que esta pregunta es un caso específico para el Teorema de Chicken McNugget.
https://artofproblemsolving.com/…
