Deje que G sea un contraejemplo.
1. G tiene al menos 48 elementos de orden 7: el número de subgrupos Sylow-7 de G debe ser congruente 1 módulo 7 según el teorema de Sylow, y debe ser mayor que 1, porque de lo contrario el único subgrupo Sylow-7 sería sé normal. Por lo tanto, es al menos 8. Como cualquiera de los dos subgrupos Sylow-7 se cruzan en solo 1 elemento, debe haber al menos 6 * 8 elementos de orden 7.
2. G tiene 224 elementos de orden 5: el número de subgrupos de Sylow-5 debe ser mayor que 1, congruente 1 módulo 5 por el teorema de Sylow, y debe ser un divisor del orden de grupo dividido por 5. El único número que cumple esto, es 56, produciendo 4 * 56 = 224 elementos de orden 5.
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Esto deja como máximo 280 – 224 – 48 = 8 elementos de orden no 5 o 7. Estos 8 elementos pueden formar un solo subgrupo Sylow-2, lo que por lo tanto sería normal, una contradicción.
