Hay dos formas de medir un cambio de un campo tensor de punto a punto en una variedad. Usemos funciones (piense en campos escalares) y campos vectoriales como casos especiales simples. Estas dos formas son la derivada de Lie y la derivada covariante. Son diferentes pero ayudan a resolver el mismo problema. Cuando diferencia una función en cálculo, escribe valientemente [matemáticas] f (x + h) – f (x) [/ matemáticas]. En una variedad no puede hacer esto porque f (x + h) yf (x) se encuentran en espacios diferentes. En el cálculo, todos estos espacios se identifican con el eje y, por lo que la diferencia anterior tiene sentido. Por ejemplo, “5” sobre el punto x + h y “5” sobre el punto x son el mismo “5”. En una variedad no existe tal identificación, por lo que necesita una forma de relacionar espacios sobre diferentes puntos.
En la derivada de Lie, usted relaciona los espacios sobre puntos cercanos por el flujo de un campo vectorial V. Este flujo, definido por V, genera 1–1 mapa de múltiples a sí mismo localmente. En particular, una pequeña curva que comienza en el punto x se mueve a una pequeña curva que comienza en el punto x + h, donde un mapa mueve x a x + h. El vector tangente a esta curva en x se mueve al vector tangente a la curva en x + h. Así es como podemos identificar espacios tangentes sobre puntos cercanos, y ahora podemos formar diferencias como en el cálculo. Digamos que tenemos un campo vectorial U. Tenemos un vector U sobre xy un vector U sobre x + h. Movimos el vector U sobre x mediante el método de curva anterior (usando el campo V) a algún vector [matemático] U_h [/ matemático] sobre x + h y lo comparamos allí con el vector U real sobre x + h, el que campo vectorial U proporcionado. La comparación se realiza en el mismo espacio vectorial, por lo que es solo una diferencia vectorial habitual en [math] R ^ n [/ math]. Este cálculo es derivada de Lie [matemática] L_V (U). [/ Matemática]
En derivadas covariantes, la idea es la misma: identificar espacios sobre puntos cercanos. Pero no necesitamos un mapa local, ni un campo vectorial V en el pequeño vecindario. La configuración allí es completamente diferente.
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