¿Cuál es un ejemplo simple de una prueba matemática rigurosa en comparación con una prueba menos rigurosa del mismo concepto?

A2A

Mmm … Creo que hay muchos conjuntos de pruebas matemáticas en las que una de ellas es corta mientras que la otra es larga.

Las pruebas de Epsilon-delta en el análisis versus las pruebas gráficas en el cálculo del mismo tema es probablemente el mejor ejemplo de esto.

En general, la misma prueba en matemática pura es mucho más dura que la prueba en matemática aplicada.

Te daré un ejemplo simple:

Sabemos que en [math] \: \ mathbb {R} [/ math], si a [math] \ cdot [/ math] b = entonces a = 0 o b = 0 y se nos enseña eso de niños.

Pero, la prueba de lo mismo en Álgebra abstracta implica primero probar que [math] \: \ mathbb {R} \: [/ math] es un anillo. Primero tenemos que saber qué es un anillo y para eso necesitamos saber qué es un grupo. Y después de aprender los conceptos de la teoría de grupos, avanzamos y entendemos la teoría de los anillos. Entonces necesitamos entender qué son los divisores cero y luego tenemos que demostrar que [math] \: \ mathbb {R} \: [/ math] es un anillo conmutativo con unidad sin divisores cero, es decir, tenemos que demostrar que [math ] \: \ mathbb {R} \: [/ math] es un dominio integral. Es después de que probamos [math] \: \ mathbb {R} \: [/ math] un ID que podemos decir que a = 0 o b = 0.

¡¡Uf!!

¡Gracias por el A2A Kishan Panaganti Badrinath!

En los detalles de la pregunta, el OP ha mencionado ‘pruebas rigurosas’. En primer lugar, es importante comprender qué son realmente las ” pruebas rigurosas “. Por pruebas rigurosas, no nos referimos al uso de símbolos muy complejos y notorios, sino a argumentos cuidadosos . Primero estamos de acuerdo en un conjunto de axiomas y / o definiciones. Una vez hecho esto, probamos cualquier enunciado nuevo usando esos axiomas, definiciones o posiblemente usando enunciados ya probados (nuevamente, esto se reduce a axiomas / definiciones). No debemos usar otras declaraciones / resultados que aún no se hayan probado al probar otra declaración. Eso es lo que son pruebas rigurosas , argumentos cuidadosos: quieres probar algo, seguro, adelante, pero pruébalo usando axiomas o definiciones o resultados ya probados. Por ejemplo, en su libro Análisis , Tao comienza con los axiomas de Peano y define los números naturales usando tales axiomas. El autor luego usa esos axiomas y definiciones para probar las propiedades de la suma y la multiplicación de números naturales. En uno de los teoremas, que es la ley de cancelación [matemáticas] a, b, c \ in \ mathbb {N} \; \; a + b = a + c \ implica b = c [/ matemáticas], Tao declara explícitamente que “Tenga en cuenta que todavía no podemos usar la resta o los números negativos para probar esta proposición, porque aún no hemos desarrollado estos conceptos”, lo que significa que uno no puede usar otros resultados / definiciones que aún no se han probado / definido. Eso es lo que significa la palabra “riguroso”, no algunos símbolos elegantes. Otro error que ocurre con bastante frecuencia es cuando se trata de manipular un objeto matemático sin probar que dicho objeto existe en primer lugar. Por ejemplo, considere la serie infinita [math] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n [/ math]. Si uno establece [math] S = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n [/ math], entonces uno puede hacer cosas desagradables sobre [math] S [/ math]. Sin embargo, primero se debe probar que tal [matemática] S [/ matemática] realmente existe, es decir, la serie [matemática] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n [/ matemática] es convergente y converge a un número único . Como resultado, la serie [matemática] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n [/ matemática] es, de hecho, divergente, y no hay [matemática] S [/ matemática] tal que [matemática] S = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n [/ math]. Eso es lo que realmente significan los argumentos rigurosos .

Dicho esto, ¿cuál es un ejemplo simple de una prueba matemática rigurosa en comparación con una prueba menos rigurosa del mismo concepto?

Definición : Sea [matemático] x> 0 [/ matemático] un real positivo, y sea [matemático] n \ ge 1 [/ matemático] un entero positivo. Definimos [matemáticas] x ^ {1 / n} [/ matemáticas] por

[matemáticas] x ^ {1 / n}: = \ text {sup} \ {y \ in \ mathbb {R}: y \ ge 0 \ text {y} y ^ n \ le x \} [/ math]

Teorema : la raíz cuadrada de [math] 64 [/ math], denotada por [math] \ sqrt {64} [/ math], es [math] 8 [/ math].

Prueba : deseamos mostrar que [matemáticas] 64 ^ \ frac {1} {2} = 8 [/ matemáticas]. En otras palabras, debemos mostrar que [math] \ text {sup} \ {y \ in \ mathbb {R}: y \ geq 0, y ^ 2 \ leq 64 \} = 8 [/ math]. Para mostrar que [math] 8 [/ math] es el supremum del conjunto [math] \ {y \ in \ mathbb {R}: y \ geq 0, y ^ 2 \ leq 64 \} [/ math] , tenemos que demostrar que [math] 8 [/ math] es un límite superior para el conjunto [math] \ {y \ in \ mathbb {R}: y \ geq 0, y ^ 2 \ leq 64 \} [/ matemática] y cualquier [matemática] \ alpha <8 [/ matemática] no es un límite superior. Para mostrar que [math] 8 [/ math] es un límite superior, debemos mostrar que [math] \ beta \ leq 8 [/ math] para todos [math] \ beta \ in \ {y \ in \ mathbb {R}: y \ geq 0, y ^ 2 \ leq 64 \} [/ math]

Elija cualquier [math] \ beta \ in \ {y \ in \ mathbb {R}: y \ geq 0, y ^ 2 \ leq 64 \} [/ math]. Luego tenemos [math] \ beta \ geq 0 [/ math] y [math] \ beta ^ 2 \ leq 64 [/ math]. Debemos tener [math] \ beta \ leq 8 [/ math], porque si [math] \ beta> 8 [/ math], entonces [math] \ beta ^ 2> 64 [/ math], una contradicción. Como [math] \ beta [/ math] era arbitrario, esto es cierto para cada [math] \ beta \ in \ {y \ in \ mathbb {R}: y \ geq 0, y ^ 2 \ leq 64 \} [ /matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ beta [/ math] es un límite superior. Ahora, elija cualquier [matemática] \ alpha <8 [/ matemática]. Si [math] \ alpha <0 [/ math], entonces [math] \ alpha [/ math] no puede ser un límite superior. Suponga que [math] \ alpha \ geq 0 [/ math]. Como [math] \ alpha <8 [/ math], podemos encontrar un [math] \ varepsilon> 0 [/ math], de modo que [math] (\ alpha + \ varepsilon) ^ 2 <64 [/ math]. Por lo tanto, [math] \ alpha + \ varepsilon \ in \ {y \ in \ mathbb {R}: y \ geq 0, y ^ 2 \ leq 64 \} [/ math]. Desde [math] \ alpha <\ alpha + \ varepsilon [/ math], y [math] \ alpha + \ varepsilon \ in \ {y \ in \ mathbb {R}: y \ geq 0, y ^ 2 \ leq 64 \} [/ math], notamos que [math] \ alpha [/ math] no puede ser un límite superior. Por lo tanto, [math] 8 [/ math] es el supremum del conjunto [math] \ {y \ in \ mathbb {R}: y \ geq 0, y ^ 2 \ leq 64 \} [/ math] y, por lo tanto, por definición, tenemos [matemáticas] 64 ^ \ frac {1} {2} = \ sqrt {64} = 8 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]

Otra forma familiar de definir [matemática] n [/ matemática] raíz para un número real positivo [matemática] x [/ matemática] es ser el número [matemático] y [/ matemático] tal que [matemático] y ^ n = x [/ matemáticas]. Sin embargo, primero se debe probar que tal [matemática] y [/ matemática] existe y es única. Una forma menos rigurosa de probar el teorema anterior es decir que [matemáticas] 8 ^ 2 = 64 [/ matemáticas], lo cual es válido si se demuestra la unicidad.

Hablemos del primer teorema que todos aprenden: el teorema de Pitágoras.

Recuerdo cuando mi maestro en la escuela secundaria introdujo el teorema. Dibujó un triángulo rectángulo en el pizarrón y luego dibujó cuadrados a cada lado del triángulo.

Él jugueteó con sus cuadrados hasta que fue obvio que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]

Eso no me gustó No estaba convencido en absoluto. Tendría que esperar unos años antes de tener una prueba correcta:

Deje que [math] (E, \ langle \, \ \ rangle) [/ math] sea un espacio prehilbert, y [math] (x_1, \ ldots, x_n) [/ math] una familia ortogonal. Luego,

[matemáticas] \ displaystyle \ left | \ left | \ left (\ sum_ {k = 1} ^ n x_k \ right) \ right | \ right | ^ 2 = \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ | x_k \ | ^ 2 \ tag * {} [/ math]

La prueba se encuentra en una línea y, sin embargo, es perfectamente rigurosa:

[matemáticas] \ displaystyle \ left | \ left | \ left (\ sum_ {k = 1} ^ n x_k \ right) \ right | \ right | ^ 2 = \ left \ langle \ sum_ {k = 1} ^ n x_k , \ sum_ {k = 1} ^ n x_k \ right \ rangle = \ sum_ {i, j = 1} ^ n \ langle x_i, x_j \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ n \ langle x_i, x_i \ rangle = \ sum_ {k = 1} ^ n \ | x_k \ | ^ 2 [/ math]

Este ejemplo también demuestra por qué la abstracción es útil, hermosa y a veces necesaria.

Entonces, ¿qué estaba “mal” con la prueba usando triángulos?

Bueno, mi maestro lo probó para un solo triángulo, solo en el plano, y usando dibujos. La segunda prueba funciona para cualquier triángulo, en cualquier espacio prehilbert, y usa solo axiomas.

Esa es la diferencia básica entre pruebas rigurosas y no rigurosas.

En esta respuesta menciono el teorema de la curva de Jordan. Todos están convencidos de que es verdad, ya que cualquiera puede dibujar una curva en un lugar y ver por sí mismo.

Eso no es lo que hace que los teoremas se mantengan