Al hacer uso del logaritmo complejo, siempre puede asegurarse de que su región simplemente conectada esté delimitada (esta es la parte del teorema donde el hecho de que tenga un punto que no esté en la región es absolutamente crítico); esta es la parte fácil de la prueba. Lo que queda es demostrar que siempre existe un mapa biholomórfico como el que he dibujado a continuación:
En cierto sentido, tal vez no sea del todo sorprendente que podamos encontrar un mapa que haga esto; parece que deberíamos ser capaces de deformar una región [matemáticas] \ Omega [/ matemáticas] en el disco. La parte difícil, por supuesto, es asegurarse de que este mapeo sea conforme, es decir, que conserve los ángulos. Sin embargo, parece que si sabe cómo está deformando el límite, debería poder extender esa deformación en toda la región.
Hay una prueba semi-constructiva del teorema de mapeo que se desarrolla en estas líneas. La idea de esta prueba es dar mapeos explícitos que, en cada paso, deforman un poco la región [matemáticas] \ Omega [/ matemáticas], haciendo que se parezca un poco más al disco. A medida que aplica estas asignaciones una y otra y otra vez, en el límite obtiene un mapa holomórfico que hace lo que desea.
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